追本溯源：找准对应关系的落脚点

陈文

摘要：笔者在对本校师生的测试和访谈中获知，学生对“植树问题”的解答基本停留在一知半解、应用公式的浅层理解上。基于以上问题，笔者在学习新课标、教参以及大量参考文献后，首先对植树问题的教学误区进行了调查归因，然后针对误区改进学习材料，形成“情境比较——自主画图——感知‘L型——理解‘L型——应用‘L型一教学流程。利用“L型”画图突出植树问题中“点段对应”的关系，实现数学建模，取得了较好的效果，具有一定的推广价值。

关键词：小学数学;植树问题;模型构建

植树问题研究的是“棵数”与“间隔数”之间的数量关系，其实质是点与段的对应问题。点段模型就是把“植树问题”根据“树”与“间隔”所呈现出来的内在规律，简化后得到一个抽象结构——点与段的一一对应关系。因此，笔者才会想到用“L型画图”帮助学生理解点段之间的关系。

一、情境比较——理清均分，感知对应

笔者汲取了斯苗儿老师以及特级教师俞正强、汪培新从除法的本质人手探索“植树问题”的经验，在教授“植树问题”时直接从除法的意义人手，结合学生的知识经验和生活经验，从除法问题引申到植树问题。

【教学片段】

出示：20米小路，每5米分一段，共分几段？

生：20÷5=4（段）。

师：为什么用除法呢？

生：因为是“平均每5米一段”。

师（引导）：因为是一件什么事情啊？

师生共答：是一件平均分的事情，所以用除法。

出示：20米路，每5米种一棵树，可以种几棵树？

师：这两道题目有什么不同吗？

生：第一题分段，第二题种树。（答到点子上就行）

师：这道题目你会做吗？先认真思考，然后把想法和同桌说说。

通过“20米，每5米分一段，共分几段”和“20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树”这两道题的比较分析，一来帮助学生理解这两道题都是平均分，二来让学生明白两者的区别在于平均分是一段一段地分，而植树问题是需要解决的新内容，进而让学生认识到“植树问题”只是除法意义在生活中的延伸。

二、自主画图——理清位置，思辨点段

通过上面的平均分引导，继而让学生画图寻找植树的位置，对于一部分学生出现植树植在段上的问题，我们将适时引导学生走上“正途”。

【教学片段】

师：你能把你的想法摆出来吗？

預设1： （ ）;预设2：（ ）（我们可以给它取个名）;预设3： （ ）（我们可以给它取个名）;预设4：（ ）（我们可以给它取个名）;预设5： （ ） （我们可以给它取个名）。

如出现预设1，这种情况是对的，但由于这种情况还有很多，所以这里不一一列举，可以把这几棵树移到旁边，也就是像后面这两种情况。

出现预设2、3、4、5，你能给它取个名吗？（适时讲解植树问题三种情况的命名。）从而总结出植树问题的三种情况：只种一端、两端都种和两端都不种。

对于预设2：我们先来看这种情况，你能列出算式吗？

生：20÷5=4（棵）

创设情境时，要用最短的时间把学生的兴趣聚焦到要解决的问题上。因此，笔者认为应重在让学生理解植树的位置和初步概括植树问题的三种情况。通过第一次猜测错误，引导学生理解植树问题的“树”应“植”在点上;通过第二次验证的正确和后续猜测，引导学生初步建立植树问题三种情况的表征，进入“思辨”状态。

三、感知“L型”——理清点段，完善对应

一线教师都认同“植树问题”的实质是“一一对应”，但这种认同更多地停留在较模糊、“贴标签”的层面，只能用抽象、形式化的语言描述，很难通过形象直观的方法进一步解释。笔者为了突破难点，在教学中借助“L型”画图，强化点段一一对应，创建了直观的只种一端的“L型模型”——“正L”与“反L”。如下图：

只种一端：

当刚好4个L型时就是只种一端的情况，棵树=L个数，引导学生用画L型图来代替传统的给线段分段。

【教学片段】

师：上面算出来的是4段，这里为什么变成4棵了呢？和你的同桌说一说为什么。

生：单位变了。

师：单位为什么会变了呢？（生思考，并回答。）

师总结：刚才我们都发现单位变了一段路种一棵树，路平均分成了4段，树也就有4棵了，换句话说，平均分成几段，树就有几棵。

师：其实一棵树和一段路刚好是一个整体，我们可以把一棵树看作一竖，一段路看成一横，这一竖一横就组成了英文字母中的L，所以这里有4个L。那么谁来找找（预设3）这里的L呢？（生上台演示。）

师：是的，我们可以通过画L的方法来理清植树问题的棵数，同学们跟着我画一画只种一端的情况。（师黑板演示，生画在草稿本上）

由“单位为什么会变”让学生感知单位变化下隐藏的深意。单位变了，意味着所解决的问题变了，由解决段数问题转变成解决棵数问题。只种一端的情形刚好是棵数与段数相等的模型，所以笔者采用了这个模型先让学生进行段数和棵数的一一对应，从而引申出利用“L型”画图来理解一一对应。通过说一说、画一画等活动，直观地让学生理解一一对应的思想。

四、理解“L型”——逐步建模，深化对应

（一）基于“L型”——初次建模，减轻记忆负担

在学生牢固掌握只种一端的“L型”模型后，再让他们在两端都种和两端都不种的情形中找“L”。当4个L表示完后，还有1竖（如下图1），表示比L的个数多1棵树，棵数=L个数+1;当4个L少1竖时（如下图2），就表示比L的个数少1棵树，棵数=L个数-1。用课件动态演示加1减1的过程，使学生在经历画图的过程中加深印象。

【教学片段】

师：已经会画只种一端的情况了，那么其他两种情况该怎么画呢？（生草稿纸作画，师巡查，并挑选个别实物投影。）

师：那么两端都种的情况用算式怎么表示呢？

生：20÷5+1=5（棵），加了头上或者尾上那一棵。

师：两端都不种的情况，用算式怎么表示呢？

生：20÷5-1=3（棵），减去头上或者尾上的那一棵。

由只种一端的“L型”模型，深化到其他两种情形，只要在前面的基础上增加或者减少其中一棵，让学生感知“中间部分”的“L”仍一一对应，只要关注旁边的情况即可。这样的教学可以引导学生从直观的线段图中理解对应思想，从而总结出植树问题的公式，大大减轻了学生的记忆负担。

（二）基于“L型”——再次建模，关联图式结合

通过让学生再次分段，深化一一对应思想的同时，建立植树问题的三种模型，从数形结合的直观理解到概括情形的虚拟模型，再次加深学生的认知，拓展学生的思维。

【教学片段】

课件出示

师：这里有一幅图，但是不知道这里种了几棵树，你能告诉我吗？

生：因为只种一端，15个L就有15棵树。

师：如果现在题目改为这条路有100米，每5米种一棵树，可以种几棵树？你会怎么解答？（可采用任何方法）

师：仔细看看，同学们这里都计算了一个东西，这一个算出来的是什么？

生：段数。

师：也就是说在分段以后再考虑是植树问题的那种情况，是这样吗？

生：是的。

师：仔细观察，种的棵数和段数有什么关系？

得出结论，教师总结：只种一端：棵数=段数;两端都种：棵数=段数+1;两端都不种：棵数=段数-1。

学生通过认知，在数字很大的情况下，我们不可能再通过画图来解决，但是可以通过“L型”画图为载体，渗透以小见大的数学思想方法。当长100米的小路，每5米种一棵树时，可以种几棵树？至此考查学生是否能清晰认识点段对应。通过“L型”画图，让植树问题真正在学生脑海中构建模型。

五、应用“L型”——活用模型，聯接变式

练习设计应该体现一定的层次性和灵活性，目的之一是夯实学生的基础性知识和基本技能;另一方面让学生的思维走向深刻，着眼后续发展。

【教学片段】

1.在一条长300米的公路一侧从头到尾每隔6米栽1棵树，共分（ ）段。需要（ ）棵树苗。栽树的棵数比段数（ ）。

2.一条马路长45米，现在要在这条马路的两边每隔5米栽一棵梧桐树，两端都不栽，一共要栽（ ）棵梧桐树？（观察点7） A.9 B.8 C.16 D.10

为了检测学生掌握情况，笔者设计了两个练习。第二个练习，在两边都种的情况下，让学生思考“两边”是否两边都画“L型”。对于“两边”这样高频率出错的词，让学生明白可以通过圈一圈的方式，提醒自己要注意。

这种层层递进的学习方式，不仅促进了学生对知识结构的了解，培养了学生的推理和抽象思维能力，还帮助学生积累了一定的数学活动经验，建构数学模型，实现了真正意义上的有效学习，为学生的后续发展提供内生力。

参考文献

[1]章宏俊.从“段数”入手探究植树问题[J]教学月刊.小学版，2013（21）.

[2]程月明.植树问题教材解读[J].数学学习与研究，2013 （18）.