带保护区和比率依赖响应函数的Lesile模型的正解的局部分支分析

施 越 曾 宪 忠

（湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411201）

1 引言

生物数学模型的研究最早可以追溯到20 世纪20 年代由Lotka 和Volterra 建立的经典的捕食模型.Lotka和Volterra建立的模型只考虑物种数量（或密度）随时间的变化，没有考虑捕食者和食饵对空间变量的依赖，因而，建立的模型是常微分方程组动力系统.实际情况下物种的分布是依赖于空间的，它们有一种自扩散运动，即物种由种群密度高的地方向种群密度低的运动.此外该模型也没有考虑捕食者消化食饵的时间，食饵和捕食者相互制约的问题.如考虑上述问题，则可以建立比率依赖的食饵捕食者模型.对于濒危物种而言，由于其自然增长率较低，如果捕食者对它的捕食量较大，那将会造成濒危物种灭绝，因此，有必要建立一个保护区来保护濒危物种.

本文研究下列捕食模型［1-3］相应的稳态问题的正稳解的局部存在性

对于生物保护区，尽管已有部分研究，但是由于各类问题的复杂性和对象的多样性，因而仍有许多问题需要解决，例如有些物种的增长不是Logistic型［2］，捕食者容量与食饵密切相关的.上述问题不仅有明确的实际意义和广阔的应用前景，而且具有一定的研究难度，因此对这类问题研究是非常有必要的.

显然，（1.1）有一个奇异的平凡解（0，0）和一个半平凡解（λ，0）.本文使用比较原理和极值原理得到解的基本估计，再利用局部分支定理得到（1.1）解的局部存在性.

2 预备知识

由文献［2-6］可知有引理

相应的稳态问题为

3 （1.1）解的估计

该部分首先利用极值原理［6］对（1.1）正解及参数进行估计，然后利用Crandall-Rabinowitz局部分支定理［7-9］对问题（1.1）的局部正解进行讨论.

4 （1.1）解的局部存在性