开展方程教学 渗透数学思想

摘 要：方程是初中数学教学中的“重中之重”，传统课堂教学只是把方程作为一种知识或技能来开展教学，以概念学习来掌握方程形式和特征，以方程求解来掌握运算法则，以应用题来掌握解决问题的步骤。实际上，方程是一种蕴含着丰富思想的载体，其中最为重要的就是方程思想，此外，还有字母表示数、化归、类比、模型等思想，有助于形成数学观念，提升自身数学综合能力。

关键词：方程教学;数学思想;一元一次方程

方程是初中数学的重要组成部分，教师在教学中往往只是把方程作为一种技能来教学，要求学生掌握方程解法，以应用题来解决实际问题。实际上，笔者认为方程是一种载体，其中蕴含着丰富的数学思想，比起求解方法更应该重视的是方程思想。那么，方程教学中如何体现方程思想，在教学中如何实施方程思想教学？下面，笔者以“一元一次方程”为例来开展教学活动，对知识进行深入剖析，培养学生数学核心素养，发展综合能力。

一、 方程思想内涵

方程思想是分析数学问题的等量关系，通过建立起方程或方程组模型来求解，运用方程性质去解决问题，得到答案的思想方法。一般来说，方程思想方法包含三个方面：（1）以字母表示未知数，把“未知数”当作“已知数”来参与数学运算，构建数学模型;（2）用等式来表示问题数量关系;（3）利用求解的思路来计算方程，进而获得未知数的数值。在一元一次方程课堂教学中，教师要在不同教学阶段注重不同内容，显化出其中所蕴含的数学思想方法，培养学生数学核心素养。

二、 渗透方程思想的教学策略

（一）概念教学，侧重“以字母表示未知数”

进入到初中阶段，与小学数学很大区别就是初中数学开始以字母表示数，由具体数字过渡到字母，这也是学生思维的重大转变，是一个需要逐步深入的学习过程。在一元一次方程前，学生在“整式及其加减”一章中已经初步了解了用字母表示数，学会了字母表示数的运算律。在教材中，一元一次方程概念引入时安排了很多例子，学生在学习时要用字母表示未知数，列出方程。在学习过程中，学生要尝试在问题情境中建立数学方程，认识到方程在解决问题时的应用优势。在笔者看来，初中数学一元一次方程的意义在于引导学生思维转变（从小学算数思维向中学代数思维过渡），体会到解决问题的重要方式。受到传统学习方式的影响，学生在面对问题往往习惯于算数方式来解决，不愿意使用方程、不理解方程的重要性。面对着这种情况，教师要掌握实际学情，从学生角度了解其心理状态，在肯定算术方法合理性的同时来引导他们对比研究算式和方程思想，使其了解到方程思维的优势，实现从算式向方程思想的过渡。

在教材中，编者设计了一些问题情境来开展概念教学，如，猜年龄——把年龄乘以2减去5得数来告诉同桌，让同桌猜出年龄。同桌要计算出年龄，以班级王同学为例，王同学年龄乘以2减去5得21，那么王同学年龄是多少？本道问题较为简答，学生运用算术方法能顺利求解，但是要经历逆向思维来计算，即，先用21+5，再把得数除以2。这种运算顺序与给出的语言正好相反，即，表述语言是“先乘后减”，算式是“先加后除”，逆向思维方式加大了学生思考难度，在逻辑上也存在着理解困难。如果運用方程思想，设小王年龄为x，方程为：2x-5=21，只要把条件转化为数学式即可，这种方程思想与语言表述一致，逻辑上也更加容易理解。对比上述两种数学思维，算式能够解决问题，但要进行逆向思维，如果难度稍大，很难顺利解决。运用方程思想会直接列出公式，进而顺利求解问题答案。

（二）方程教学，渗透化归思想

方程求解过程是对原方程进行变化，直到计算出x=a的形式，教材给出了求解方法：移项、合并同类项、去括号、化系数为1等等。方程的求解过程是方程思想的核心内容，只要建立起方程就能运用上述求解方法来求出未知数。一般来说，一元一次方程的形式为ax+b=0（a≠0），根据运算法则来求解化为x=a的形式，而x=a形式是化归的目的，因此，数学课堂教学中要注重渗透方程求解过程中蕴含的化归思想。

如，一次教学中，笔者列出了两道试题：4x-4=12、2x=5x-21，学生要运用求解方法来计算答案。4x-4=12（两边都加4）→4x=16（两边都除4）→x=4。2x=5x-21（两边都减去5x）→2x-5x=5x-5x-21（合并同类项）→-3x=-21（两边都除以-3）得x=7。在求解过程中，体会到方程求解过程，意识到求解思想，实际上，初中阶段方程求解（如二元一次方程、分式方程和一元二次方程）都可以转化为一元一次方程求解，因此，化归思想的重要性不言而喻。一元一次方程求解中，学生在上述例子中提炼出解方程的整体策略：（1）明确出要求解题目与一元一次方程区别;（2）选择合适方法来求解一元一次方程;（3）运用一元一次方法的求解程序进行求解。

（三）应用教学，实施数学模型教学

在上面论述中，我们了解到方程是含有未知数的等式，列方程的关键在于运用数学符号来等价表示出两侧的内容，依据是两个不同事物有着相同数量关系，因此，方程思想的核心在于“直观”表示问题中的等式关系。根据新课改要求，教师要培养初中生核心素养，其中模型建立是核心素养的重要组成部分。学习一元一次方程时，学生要初步尝试寻找问题中的等量关系、建立起数学方程，教师要鼓励他们从多个角度来列出方程，用数学语言来表达问题，采用规范化方式来建立起方程，进而解决数学问题。在应用过程中，数学模型是学习的重要部分，教师要有意识地灌输“数学建模”思想，了解建模的每一步骤进而求解出问题答案，培养数学核心素养。

方程思想的最大价值在于描述事物等量关系，一元一次方程是学生在初中阶段最早接触用于求解问题的数学模型。一般而言，在运用一元一次方程解决实际问题时，学生要经历以下求解步骤：（1）从题干材料中找到关键词、列出等量关系;（2）根据条件来列出等式关系;（3）运用方程求解顺序来解答等式关系。如，某面粉仓库面粉运出15%后，还剩余425000千克，仓库原有多少面粉？（教师带领学生共同分析，（1）本题中有哪些给出的已知量和未知量？（2）已知量和未知量间有何关系？（3）如何来假设未知量？）在分析完成后，了解到，要设原来面粉有x千克，等式关系为原来重量-运出重量=剩余重量。解析过程如下：设原来有x千克面粉，运出了15%x千克，由题意得：x-15%x=425000，解得x=500000，因此，原来有500000千克面粉。在求解后，学生再讨论除了上述相等关系外，是否还有其他表达形式？（学生思考后，得到：原来重量=运出重量+剩余重量、原来重量-剩余重量=运出重量），再指出括号内两种相等表达形式与“原来重量-运出重量=剩余重量”虽然有所不同，但实质却相同，可以选择其中一个相等关系来列方程。在解答过程中，学生先理解试题材料，再根据等量关系来建立数学模型、列出数学公式，解答出问题答案。在解答试题中，应用题的求解步骤为：（1）认真审题、理解题意，弄清楚已知量、未知量及相互关系;（2）用字母假设未知量，建立数学模型，列出相等关系;（3）根据关系来列出方程，利用题干条件来求解问题，解答出正确答案;（4）检验答案是否符合方程。

（四）复习教学，优化方程教学结构

数学教学中，教材对内容的编排往往从概念引入、方程建立和求解、应用题解答三个部分来展开。教材用了很多实际情境问题来引入一元一次方程概念，引导学生运用字母x来表示问题中的未知量，进而表示出数量关系，寻找到等量关系来表示数量关系建立方程，进而引出一元一次方程概念。在方程求解过程中，学生要运用移项、合并同类项、去括号、化系数为1等方法来求解方程，把一元一次方程转化为x=a的形式。最后，方程应用阶段，设计一系列应用题来练习如何建立方程组，解决遇到的实际问题，明确提出应用一元一次方程来解决问题，运用一元一次方程来解决应用题。提炼出教材思路，结构为“认知方程→求解方程→应用方程”，每一步都蕴含着丰富的方程思想。

在初中数学教學中，数学教师要重视揭示教材思路，从而为后续其他方程学习做好铺垫，展示方程归纳的步骤、方法、其中蕴含的思想等等，便于班级学生在后续其他方程学习中类比一元一次方程的学习过程，借鉴成功学习经验。这样，学生在整个初中阶段学习就不再独立地学习某一方程类型，而是对方程主题进行整体性学习。在学习中，教师要优化教材内容和结构，一方面要指出方程引入、求解和应用过程和注意事项，另一方面还应当指出蕴含在其中的数学方程思想。在复习阶段，教师要重点关注数学学习困难群体，帮助他们解决学习中存在的疑惑和困难，梳理本部分知识，内化为自身数学知识体系，掌握数学教材重要内容，为后续学习打下坚实基础，提升自身数学成绩。

方程作为初中阶段的重要知识，一元一次方程作为方程入门的知识，对初中生数学学习有着重要意义，数学教师不能仅仅以为方程是一种解题方法和技能，更要认识到方程背后隐藏的数学思想。在数学教学中，教师要及时理解和掌握学生在学习中的实际学情和心理变化，注重方程思想渗透过程，结合字母表示数、化归、数学模型、类比等多种方法来展开初中数学教学活动，发展个体数学观念，促使其形成数学综合能力，发展自身数学核心素养。在一元一次方程教学中，教师要结合不同部分知识来有所侧重地开展方程教学，使每个人都能从中有所收获，夯实数学方程基础。

参考文献：

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作者简介：

袁建华，福建省宁德市，福建省柘荣县第三中学。