把握本质 类比建构

摘 要：“周长”和“面积”两个概念易混淆，学生练习中的错误多得实在令人扎心。要帮助学生真正理解

“周长”和“面积”的概念，把握概念的本质是关键。教学中紧扣核心问题，设计有效的学习活动，让学生充分体验与感悟，深刻理解概念。二者都属于度量范畴，教学中应适时引导学生进行横纵类比，深化概念，构建知识体系。

关键词：概念;本质;核心;类比;建构

“周长”和“面积”是“图形和几何”领域中的两个重要内容。北师大版教材按照先学周长再学面积的思路进行编排，分别将两部分内容安排在三年级上册与三年级下册。为了帮助学生建立周长、面积的概念，发展学生的空间观念，教材在编写上重视概念的形成过程，注重在直觀操作和形式多样的活动中体验。然而在教学现实中，这两个概念的混淆却一直困扰着学生和老师。

缘起 闻怨言——学生错误甚扎心

来自一线老师的心声：

明明在课上反复讲、反复做，学生就是分不清周长和面积……

教学时特别注重从学生的已有经验出发，结合生活中熟悉的具体事物来帮助学生认识周长、面积。“封闭图形”“一周”“平面图形”“物体表面”这些重点词明明都落实了，为什么还这么多错呀？

通过引导学生在观察、操作、交流等多种形式的活动中，逐步理解周长与面积的实际含义，按理说学生该获得了许多经验，建立了周长与面积的概念的呀，为什么还是不理解？

担心学生混淆，特意进行了一些对比练习，但效果仍不佳……

长方形、正方形的周长与面积公式学生背得很溜，基本题也掌握得不错的，但总面对一些实际问题时，学生便乱了马脚。

刚学习时明明做得很好，过了段时间怎么又不会了！

学习周长相应的题目明明是做得很好的，可学了面积之后，又乱了！

……

覃思 找对策——柳暗花明又一村

在感叹学生错题扎心时，我们更应该反思。这些看似平常的问题，学生却反复出错的原因是什么？是不是我们在教学中忽略了什么？学生对周长、面积认识的难点在哪里？怎样才能帮助学生真正建立周长和面积的概念？笔者浅谈几点拙见。

一、 溯源——明晰本质

周长和面积的概念是抽象的。概念的建立不是概念术语的记忆过程，也不是单纯的直观形象的积累过程，而是概念意义的建构过程。为了更好地帮助学生完成概念的意义建构，明晰概念的本质是关键。追本溯源，什么是周长？虽然各版本的教材表述略有不同，但基本一致：物体表面或平面图形一周的长度。许多老师围绕着这句话做教学设计，在“什么是表面”“什么是一周”“什么是封闭”等问题上下足了功夫。如果仅仅停留于此常识性的定义，会造成学生说起周长，定义呼之而出，却不能真正理解概念。进而，深思“周长的本质是什么”。辞海对周长的定义是：“环绕有限面积的区域边缘的长度积分，叫作周长，也就是图形一周的长度。”显然，图形的周长就是用适当的长度单位量出图形边线的长度，即“度长”。

什么是面积呢？物体表面或平面图形的大小称为面积。面积作为事物的一种属性，和长度一样，是可以度量的。对一个二维图形的表面进行度量以后，用一个“数”表示它的大小，就是该图形的面积。可见面积的本质是度量，其中包含着两个问题：用什么面来“积”、积了“几次”，即所要度量的图形里含有多少个这样的面积单位。如果说长度即“度”长，面积则是“积”面。

二、 寻径——聚焦核心

学生出现面积单位与长度单位、面积计算与周长计算相混淆的错误，主要原因在于长度与面积的概念模糊、长度单位与面积单位的概念不清。为此建立初步的概念，是教学的难点。因此，在备课时需紧扣核心问题，精准实施教学。

（一）明确度量对象

度量首先要明确度量的对象。在日常生活中，学生容易先入为主，先看到“体”与“面”，没能关注到“线”。因为线与面是相依的，少有以“线”状态存在的物体，所以学生对于图形关注它们的形状比较多，而关注和感受周长较少。为此，在教学周长时，让学生真真切切地看到“线”在哪里，正是我们教学周长的关键。如何让学生由关注面到关注线？如何让“线”在面上显性出来呢？应让学生养成先“描一描”的习惯，让物体表面或图形的一周所指的“线”显性化，久而久之，学生不仅能关注面还能关注到线了。当学生能明明白白地看到面中的线时，再求这些线的总长，便不再是难题。

面积是对二维空间图形的度量，度量对象是一个确定的面。学生对“面”“大小”都非常熟悉，较周长而言，对于面积倒像是熟悉的陌生人。《小学数学教材中的大道理》中指出：早在婴儿阶段，人们就已经能够辨別两块饼的大小。把“大小”作为面积，就如同把“长短”作为长度一样，并没有实质性的解惑，都是同一个意思的简单重复，不能帮助学生真正理解面积概念。这里的“大小”不只是有的大些、有的小些，“相差”的意思，还有每个面、每个图形的大小都是确定的意思，这便是形成面积概念的关键。为此，教学时从度量出发，加强直观感受，在物体表面和平面图形上抽象出面积的意义，引导学生逐渐体会面积的含义，分层次展开面积意义的教学。

（二）建立标准单位

要度量就必须确定度量单位，对标准单位大小的体验和建立是一关键。单位不仅仅是一个抽象的概念，对它的认识应当通过实践活动体验它的实际意义，帮助学生形成常用面积单位的表象，即形成面积单位大小的观念。

“面”是一个标准，以1平方厘米去积累，1平方厘米就是一个标准，用几平方厘米去积累，几平方厘米就是一个标准。教学中，学生通过动手操作，增加对标准单位累加的体验。充分感悟由于标准不同，积累的次数也不同，感受从不同标准到统一单位的必要。

对标准单位大小的建立，教学不能停留在“知道”的层面，各个面积单位观念的形成是我们的追求。在教学中，通过设置一些学习活动，让学生直接感受各个面积单位，并在自己的认知结构中形成清楚的表象。如通过动手制作，亲身体验每一个面积单位的形状与大小，在头脑中形成表象。再凭头脑里的各个面积单位的表象，在身边的物体上，寻找面积大约1平方厘米或1平方分米的面;用手势比划1平方分米的大小;试一试1平方米的正方形里大约可以站多少个同学……通过多样的形式加强学生对各个面积单位的体验。

（三）理解计算方法

在过去的长方形的面积教学中，容易把重心放在归纳公式并利用公式来计算图形面积上，为此在教学中多数是组织学生进行操作、完成表格、观察发现等活动，进而发现面积与长和宽之间的关系，归纳出长方形、正方形的面积公式，整个过程有动手操作、有思考、有交流。教学一气呵成，学生既掌握了公式又能加以应用，心中的那份小小成就感便悄然而至。看似顺畅又帶有灵动的课堂中似乎少了什么？面积计算公式只是一种快速求面积的办法，是众多方法中的优化。学生除了会运用公式计算之外，更需要什么？

新课程在教学平面图形的面积时则更重视测量。即用面积单位摆一摆度量图形的大小，进而发现长方形面积计算的一些规律，意义建构面积计算公式。为此，教学中要加强对公式的理解。紧扣问题：你能得到这个长方形的面积吗？引发学生探究，从“要得到长方形的面积就是要求出这个长方形中含有多少个面积单位”，到发现“每行摆面积单位的个数与行数相乘的积等于长方形包含的面积单位的个数”，再悟出“长包含的长度单位的个数与宽包含的长度单位的个数相乘即是长方形包含的面积单位的个数”，在“数”与“计算”面积的过程中，明白计算长方形的面积是它的长乘宽的道理。明白了公式背后的意义，对学生数学素养的形成至关重要。

三、 通融——类比构建

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性。

“周长”概念对于学生来说是新鲜的，但它实属“度长”体系。学生在二年级学的长度，度量的是线段（一条且状态是直直的）。而周长呢，它度量的是一周的线的长，它的条数是不确定的，可能是1条、2条、3条……而且线的状态也是不确定的，可能是直的，也可能是曲的，但两者的本质是一样的都是度长。这样学生定能恍然大悟，原来已经学过了，只是更复杂一些，对周长的陌生感就少了，自然而然地将新知纳入已有的知识体系。

周长与面积它们都属于度量的范畴，二者大多共同存在于一个图形之中，形影相随，易造成认知上的混淆。为了避免学生概念的混淆，老师们的杀手锏便是一组一组的练习，但最终的结果仍是不尽如人意。学习不是简单的信息积累，更重要的是新旧知识经验的冲突以及由此而引发的认知结构的重组。笔者认为在学习了面积的相关知识之后，教师要适时引导学生进行类比，帮助学生建构。

度量的核心是：度量对象、度量单位、度量值。为此，学习了面积后适时围绕以下几个要素：①度哪里？②用什么度？③怎么度？④如何确定结果？对周长与面积展开思考与交流，通过比较找到它们的联系与区别，进而发现二者除了图形的维度不同，作为一种测量其本质是一样，即包含多少个单位。正如华罗庚先生所说，学习的最高境界就是要学会“把书读薄了”。

总的来说，对于周长与面积的教学，我们要紧扣概念的本质，从学生的学习难点出发，设计学习活动，让学生充分体验与感悟，积累活动经验，真正理解概念，从而灵活运用知识解决问题。及时引导学生进行类比，深化概念，重组知识结构，注重考查学生对数学本质的理解与合理应用，发展学生的数学素养。

参考文献：

[1]朱德江.“学”与“导”应着力于学习的“关键点”：“认识面积”教学实践与思考[J].小学数学教师，2016（3）.

[2]小学数学教材中的大道理：核心概念的理解与呈现[J].小学数学教师，2018，348（10）：84.

作者简介：黄雪梅，福建省建瓯市，福建省建瓯市教师进修学校。