带有积分边值的非线性分数阶微分包含多个正解存在性

李春红, 杨丹丹

(淮阴师范学院 a. 学报编辑部, b. 数学科学学院, 江苏 淮安 223001)

分数阶微分方程是整数阶微分方程的推广[1-3].近年,分数阶微分方程解的存在性研究结果很多[4-8].2012年, Cabada等[9]研究了如下带有积分边值条件的分数阶微分方程:

(1)

式中,Dα表示标准的Caputo分数阶导数,2<α<3,0<λ<2,f∶[0,1]×[0,∞)→[0,∞)是一个连续函数.

近年来, 关于分数阶微分包含解的存在性有很多研究成果[10-14]. 但是在现有成果中, 分数阶微分包含正解存在性定理结果不多, 这方面的研究还亟待数学工作者的关注. 受文献[9] 启发, 本文将文献[9]的单值研究结果推广到多值情形. 研究了如下分数阶微分包含积分边值问题:

(2)

式中Dα表示标准的Caputo分数阶导数, 2<α<3,0<λ<2,F∶[0,1]×R→ρ(R)是一个多值映射,ρ(R)表示R的所有非空子集族.本文将利用Guo-Krasnoselskii’s不动点定理,给出带有积分边值条件分数阶微分包含方程(2)正解的存在性定理.

1 预备知识

定义1 函数(0,∞)→R的α分数Caputo积分定义为

式中α>0,Γ是伽玛函数.假设等式右侧在(0,∞)上逐点有定义.

定义2 函数(0,∞)→R的α分数阶Caputo导数定义为

式中,n=[α]+1,[α]表示α的整数部分.

定义3[14](X,‖·‖)是一个赋范空间. 对于每个x0∈X,集合Θ(x0)是X的一个非空闭子集, 对于X中的每个包含Θ(x0)开子集B,存在x0的一个开邻域V,使得Θ(V)⊆B,则称Θ在X是上半连续的.

定义4[14]对于每个y∈C([0,1],R),令SF,y是F的选择集合,定义为

SF,y={f∈L1([0,1],R)∶f∈F(t,y(t))a.e.t∈[0,1]}.

定义5[14]设X为Banach空间,C是X的闭凸子集,CK(C)表示C中所有非空紧凸子集集合.对于任意有界子集Ω⊂X,它的非紧测度为

定义6[14]映射T∶E⊂X→X称为k- 集压缩(k≥0), 若T连续, 且满足条件: 对每个有界子集Ω⊂E, 均有γ(T(Ω))≤k(Ω), 对于k<1的k- 集压缩称为严格k- 集压缩映射. 特别地, 全连续映射是0- 集压缩, 因此是严格k- 集压缩映射.

引理1 设X是一个Banach空间.令F是一个多值映射,满足F[0,1]×R→CK(C)是L1-Caratheodory.令Θ∘∶L1([0,1],R)→C[0,1],R)是一个线性连续算子.则

是C([0,1],X)×C([0,1],X)中的一个闭图算子.

引理2 若Θ是上半连续当且仅当Θ存在一个闭图,即xn→x*,yn→y*,yn∈Θxn,意味着y*∈Θx*.

1) 对∀y∈∂EΩr∩C,y∉F(y);

2) 对∀u∈F(y),y∈∂EΩL∩C,有‖u‖>‖y‖;

3) 对∀u∈F(y),y∈∂EΩr∩C,有‖u‖≤‖y‖;

4) 对∀u∈F(y),y∈∂EΩQ∩C,有‖u‖>‖y‖.

引理4[9]假设2<α<3,λ≠2,g∈C([0,1],R),则y(t)是以下问题的唯一一个解.

式中,

引理5[9]对于2<α<3,0<λ<2,对于式(4)定义的Green函数有下列不等式成立:

1) 对于所有的t,s∈(0,1),G(t,s)>0,当且仅当λ∈(0,2);

假设条件如下:

① 函数F∶[0,1]×(0,∞)→CK((0,∞))是L1-Caratheodory的;

② 存在连续非减函数,ψ∶[0,∞)→(0,∞)和一个函数p∈L([0,1],R+)使得

③ 存在常数r>0使得

为方便起见, 给出下列记号:

显然,K是E的一个锥.

定义算子A∶K→CK(C[0,1]),f∈SF,y,

(5)

为了给出关于分数阶微分包含边值问题(2)正解存在定理,先证明一个引理.

引理6 假设条件①、②成立,则由式(5)定义的算子A是上半连续的全连续算子.

证明 将分3步完成.

第1步A从E有界集合映射为E中有界集.令Br={y∈E∶‖y‖≤r}是K中的有界集.对于每个h∈A(y),y∈Br,存在f∈SF,y使得

则对于t∈(0,1),由条件③有

因此有

可见,A(Br)是一致有界的.

第2步 证明A由有界集合映射到等度连续集.令t1,t2∈[0,1],且t1

因此,当t2→t1时,‖h(t2)-h(t1)‖→0.这就证明了A是等度连续的.由Ascoli-Arzela定理,A∶X→ρ(X)是全连续的.

第3步 证明A存在一个闭图.令yn→y*,hn∈A(yn),且hn→h*,当n→∞.现需证明h*∈A(y*).对于hn∈A(yn),存在fn∈SF,yn,使得

定义线性算子Θ∶L1([0,1],R+)→C([0,1],R+),

另外,有hn(t)∈Θ(SF,yn).由于yn→y*,得

对于某个f*∈SF,yn.因此,由引理1,A存在一个闭图算子,因此具有闭值.再由引理2,A是上半连续的.

综上,证明了A是上半连续的全连续算子.

2 主要结果

定理1 假设条件①～⑥成立. 则式(2)至少存在2个正解.

证明 由引理6有,A是一个上半连续的全连续算子.接下来只需要证明引理3的所有条件都成立.将证明分为以下5个部分.

1)A∶K→CK(K).∀y∈K,u∈A(y),那么v∈SF,y使得

因为

F∶[0,1]×(0,∞)→CK(0,∞),G(t,s)≥0,

有u(t)≥0,t∈[0,1],由引理4,得到

从而∀y∈K,u∈A(y)有u∈K,即A∶K→CK(K).

2)∀y∈∂EΩr∩K,y∉A(y).

与条件③矛盾.

3)∀u∈A(y),y∈∂EΩL∩K,有‖u‖>‖y‖.∀y∈∂EΩL∩K,则‖y‖=L,且

4) 对∀u∈A(y),y∈∂EΩr∩K,有‖u‖≤‖y‖.∀y∈∂EΩr∩K,则‖y‖=r,y(t)≥0,t∈[0,1],即0≤y(t)≤r,t∈[0,1].ψ非减,由条件②和条件③得到

3 结 论

本文用多值映射的不动点定理,研究了一类带有积分边值条件的分数阶微分包含的正解存在性,给出了正解存在的充分性条件.现有文献中,大多研究了解的存在性,正解存在性的结果很少,本文填补了这方面的空缺,将已有的单值结果推广到多值的情形.