空间解析几何中直线参数方程的教学反思

徐传友

自笛卡尔和费马［1］研究出图形与坐标的关系以后，求动点的轨迹方程时，直接找出给定条件动点的坐标x,y,z之间的关系式很困难，但如果适当地引入一个辅助变量（称为参数），则较容易找出坐标x,y,z和参数之间的关系式，即得到了图形的参数方程，这样就间接地建立了x,y,z之间的关系式.

参数方程不仅是空间解析几何的一个重要研究内容，而且在数学分析中的二重积分、曲线积分、曲面积分中也有重要应用［2］，与微分几何联系紧密［3］，在电脑美术设计中也有广泛应用［4］.

1 曲线参数方程的概念

如果变数t(a≤t≤b)的每一个值对应于变向量r→的一个完全确定的值r→(t) ，则称r→=r→(t)是t的向量函数.在直角坐标系向量函数可以写成r→(t)=x(t)→i+y(t)→j+z(t)k→.

定义1［5］取t的一切可能取的值，向量函数表示的向径终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t的某一值t0（a≤t0≤b）通过向量函数的表达式完全决定，那么就把向量函数表达式叫作曲线的向量式参数方程.

2 直线参数方程的应用

在空间解析几何课程的教学中，直线可谓是贯穿始终.既可以直接利用直线的参数方程研究直线与直线、直线与平面的相交和垂直的问题，直线与二次曲面的相交、相切的问题，以及二次曲面的相交、相切的问题，还可以给出教材［5］中某些结论的重新证明.

2.1 相交方面的应用

在考虑直线与直线、直线与平面和二次曲面相交，或者二次曲面之间相交的时候，使用直线的参数方程比较便捷.

例1 求过点P(1,-1,1) 且与直线垂直相交的直线.

解 已知直线的方向向量v→=(2,1,-1)，且过点(-1,-1,0) ，所以直线的参数方程为x=-1+2t,y=-1+t,z=-t，因此所求直线与已知直线的交点坐标可以写为Q(2t-1,t-1,-t)，因此，且向量与已知向量v→垂直，则有2(2t-2)+t-(-t-1)=0，解得，所以直线的一个方向向量w→=(2,-1,3) ，其标准方程为

本题也可以使用常规方法求解，但过程相对复杂.下面给出常规解法.

又由于两直线相交，所以假设交点坐标为M(p,q,r).一方面，点P和点M都在所求的直线上，所以向量与向量共线，因此得到另一方面，点M在已知直线上，所以点M的坐标满足已知直线的方程，即

由式（1）和式（4），解得a:b:c=2:(-1):3 ，因此所求直线的标准方程为

教学反思：从例1 的两种解法容易看出，在解决直线的相交问题时利用参数方程步骤简洁，解题思路更加清晰.在教学过程中，如何引导学生使用参数方程很关键.在与例1 类似的问题中，需要学生抓住关键词“相交”，然后利用参数方程给出交点坐标，进而再利用相关条件解决问题.

当两个球面相交时，交线是圆，如何得到圆心呢？此时圆心在两球心的连线上，于是可以利用直线的参数方程将其表示出来，再结合其他几何知识就可以求出圆心坐标.

例2 假设两球面(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2=4 和(x+1)2+(y-2)2+z2=9 相 交，求 其交线圆的圆心.

解 两球心分别为O1(1,1,2) ，O2(-1,2,0)，两球半径分别为R1=2 ，R2=3.由于交线圆的圆心在两球心的连线上，且(2,-1,2) ，所以两球心的连线的方向向量可以 取其 参 数 方 程 为x=2t+1,y=-t+1,z=2t+2 ，所以圆心C的坐标为C=(2t+1,-t+1,2t+2) ，设圆的半径为r，利用圆半径和球半径的关系，可得解得t=因而可得圆心C的坐标为

教学反思：解决本题的关键是知道相交圆的圆心在两球心的连线上，且该连线与相交圆所在平面垂直，这样就可以将求圆心问题转化为求直线问题上来.

通过上述两个例子可以看出，只要问题中直接或间接给出直线内容，就可以使用直线的参数方程来解决.

2.2 距离方面的应用

解析几何教材给出了点到平面、点到直线以及两异面直线之间的距离公式［5］.具体公式如表1 所示.

事实上，教材中所给的三种距离的定义都是最短距离，从分析的角度出发，这个最短距离是得到的距离函数的最小值，因此，可以利用直线和平面的参数方程重新求出上述三种距离公式.

性质1 点P(x0,y0,z0) 到直线的距离为，其 中

证明 直线L过点M(α,β,γ) ，方向向量为，其参数方程为bt+β,z=ct+γ，根据点到直线距离的定义，需要求出点P与直线上所有点的距离，并求出最小值，即求出距离函数的最小值，因此有这是关于参数t的一元二次函数，它的最小值为ρ=即为原来点到直线的距离公式.

表1 距离公式

注1：由上述证明过程可以看出在L1上存在唯一一点P，在L2上存在唯一一点Q，使得PQ的距离最短，即为异面直线的距离.另 外，，即PQ所在直线与直线L1垂直，同理可得PQ所在直线与直线L2垂直，因此可得如下结论：

性质3 两异面直线的公垂线存在且唯一.

注2：与上述的推导类似，可以得到点到平面的距离.

教学反思：教材中虽然已给出距离公式，但在教学过程中，给出上述的推导过程，一方面可以帮助学生更形象地理解书中距离的定义，即最短距离.另一方面也可帮助学生掌握数学分析中极值的求法，并且当需要求垂足问题时，使用上述方法比较简单.

2.3 相切方面的应用

定义2 从二次曲面S外一点向曲面引切线，则这些切线生成的曲面称为切锥面.

特别地，如果曲面S是球面，则切锥面是圆锥面.

例3 给定椭圆抛物面S，方程为z=3x2+4y2+1，求以原点O为顶点的切锥面方程.

解 设M(x,y,z) 是切锥面上的任意一点（非原点）.则直线OM上存在唯一的切点N，即存在唯一的实数t，使得(tx,ty,tz)是该切点N的坐标，由于切点M(x,y,z)在椭圆抛物面上，所以其坐标满足椭圆抛物面的方程，即tz=3(tx)2+4(ty)2+1，整理得(3x2+4y2)t2-tz+1=0 ，这是关于t的一元二次方程，由相切的条件得到Δ=z2-4(3x2+4y2)=0 ，即所求的切锥面的方程为z2=4(3x2+4y2).

例4 给定椭球面S，方程为设方向为常向量v→的一束平行光线照射S，其中部分光线与S相切，它们的切点在S上形成一条曲线Γ.证明：Γ落在一张过椭球面中心的平面上.

证明 不妨设常向量v→=(α,β,γ) ，在曲线Γ上任取一点M(x,y,z) ，且M是切点，则过M的光线l(t)=(x,y,z)+t(α,β,γ) 是椭球面的切 线，其 上 任 意 一 点 坐 标 为(x+tα,y+tβ,z+tγ) .由于每条切线与椭球面有且仅有一个 切 点，故t=0 是的唯一解，由于(x,y,z)∈Γ⊂S，上述方程化为，此方程只有t=0 的唯一解，当且仅当，这是一个过原点的平面方程，故Γ落在一张过椭球面中心的平面上.

教学反思：从上面的证明可以看出，在教学过程中，涉及到相切问题，可以引导学生思考如何利用直线的参数方程，把切点问题转化为关于参数t的一元二次方程的相等实根问题.

2.4 对称性方面的应用

利用二次曲面的对称性，在求二重积分、曲面积分和曲线积分时非常方便，因此了解曲面的对称性很重要.如何判断曲面具有对称性呢？即如何知道一个二次曲面具有对称平面、对称轴和对称中心呢？这就需要先研究已知点关于点、直线和平面的对称点，然后再研究曲面的对称性.下面以点关于平面的对称点为例进行研究.

性质4 点P(x0,y0,z0)关于平面Ax+By+Cz+D=0 的对称点坐标是

解 平面的法向量为n→=(A,B,C) ，过点P且以n→为方向向量的直线的参数方程为x=x0+At,y=y0+Bt,z=z0+Ct.此直线与平面垂直相交，把参数方程代入平面方程得(A2+B2+C2)t+Ax0+By0+Cz0+D=0 ，从 而参数则直线与平面的交点坐标为此时O点是P点和对称点Q的中点，因此对称点坐标即为式（5）.

虽然空间解析几何的教材中都提到了二次曲面的对称性，即三个坐标面都是椭球面和双曲面的对称平面，三个坐标轴都是椭球面和双曲面的对称轴，原点是对称中心.而抛物面只有两个对称平面，一个对称轴，没有对称中心.这些结果自然会引起学生的思考，为什么这三类曲面的对称平面、对称轴和对称中心不同？怎么得到的这些对称平面、对称轴和对称中心？为什么坐标面是对称平面，坐标轴是对称轴呢？其他平面和直线是不是对称平面和对称轴呢？这些都没有给出具体说明，我们以椭球面为例给出具体的推导过程.

性质5 三轴椭球面有且仅有三个对称平面，旋转椭球面有无数个对称平面.

证明 不妨设椭球面的方程为

在椭球面上任取一点P0(x0,y0,z0) ，假设椭球面的对称平面方程为Ax+By+Cz+D=0 ，则点P0关于平面的对称点坐标为式（5），把式（5）代入椭球面方程，得到

由于P0点坐标满足椭球面方程，故上述方程化为

由于(-x0,-y0,-z0) 也满足椭球面方程，所以也满足式（7），代入上式得到

由于A,B,C不全为零，所以式（8）中D=0.由于(x0,-y0,-z0),(-x0,y0,-z0),(-x0,-y0,z0)也满足椭球面方程，所以也满足式（9），代入式（9）得到

以下分两种情况讨论.

一是椭球面为三轴椭球面的情形.不妨设a＞b＞c.如果A,B,C全不为零，则式（10）化为

因为a＞b＞c，所以由式（11）得到A=B=C，这与假设矛盾，所以ABC=0.如果A,B,C中有一个为零，不妨设A=0 ，则式（10）中的第二式和第三式化为由条件可知B=0，或者C=0.其他两种假设可以类似讨论.

所以在该情形下，对称平面是X=0 ，Y=0 和Z=0 三个坐标平面，即式（6）表示的三轴椭球面有且仅有三个对称平面，且对称平面为三个坐标面.

二是椭球面为旋转椭球面的情形.不妨设a=b＞c，则式（9）化为AC2=0 ，BC2=0 ，于是C=0 ，或者A=B=0.如果A=B=0 ，则对称平面为XOY平面；如果C=0 ，则对称平面为过z轴的平面，且有无数个.

如果给出椭球面的一般方程，则经过坐标变换，一般方程可以化为标准方程（6），讨论过程参考上述内容，对称平面的个数不变，只是对称平面不一定再是坐标平面，而是与坐标变换有关，这里不再赘述.

注3：对椭球面的对称轴和对称中心可以类似讨论.同理，柱面、锥面、双曲面和抛物面也都可以类似讨论.

教学反思：教材中直接说明了椭球面的对称平面问题，但是并没有说明还有没有其他的对称平面.我们在对这个知识点进行讲解时，可以引导学生考虑两个问题：①椭球面的对称平面为什么是三个坐标面，还有没有其他对称平面；②如果还有其他对称平面的话，该如何得到，然后逐渐引导学生结合点关于平面的对称点问题，利用直线的参数方程求解对称点，并考虑椭球面的对称平面问题.

通过对这些知识的挖掘，既帮助学生理解了椭球面的对称性，又能引起他们对课程内容的思考，培养学生们的科研能力，有利于提升他们以后的教学研究能力.

3 结束语

直线在空间解析几何课程中有许多应用，本文是几何教学团队多年教学经验总结的成果.这些成果立足于课本知识，又有许多延伸，可以作为学生的研究性课题.当然，空间解析几何还有许多内容可以挖掘，今后会继续加以研究.