稀疏过程下带有退保和分红策略的相依风险模型

(广西民族师范学院 数学与计算机科学学院，崇左，532200)

1 引言

在经典风险模型[1-2]中总假设保险公司在单位时间内收到的保费是固定不变的，发生索赔的次数{N(t),t≥0}服从齐次Poisson过程，索赔额是非负独立同分布的随机变量.基于此，文献[3-7]对其进行推广，考虑随机保费收入、退保因素、分红、利率等干扰因素的影响，建立相应的风险模型，得到了相关的性质、破产概率的上界与最终破产概率等结论.在这些模型中都假设保费到达数{M(t),t≥0}与索赔发生次数{N(t),t≥0}相互独立，但在实际问题中，这两者通常是相依的，收到的保单数越多，发生索赔的次数就会越多.因此文献[8-10]讨论了理赔次数{N(t),t≥0}是保单到达数{M(t),t≥0}的p-稀疏过程，运用破产论的方法讨论模型盈余过程相关函数的性质，给出了最终破产概率的表达式和Lundberg上界.本文在文献[7，10]的基础上引入干扰因素，假设索赔次数{N1(t),t≥0}，退保次数{N2(t),t≥0}和支付红利的保单数{N3(t),t≥0}分别是保单到达数{M(t),t≥0}的p1,p2,p3-稀疏过程，建立带有退保和分红策略的相依风险模型，并运用鞅方法讨论该模型盈余过程的性质，给出最终破产概率的表达式和破产概率的Lundberg上界.

2 模型的建立

本文考虑如下风险模型：保险公司在t≥0时刻的盈余

(1)

其中：u为保险公司的初始资本；{M(t),t≥0}和{Ni(t),t≥0}(i=1,2,3)分别表示在时间区间(t-1,t]内保险公司收到的保单数、发生的理赔次数、退保的保单数和支付红利的保单数；Xk表示第k次的索赔额；Yk表示第k张保单收取的保费；Zk表示第k张退保保单的给付额；Ik表示第k次支付的红利额,且当盈余大于或等于给定的非负整数红利界时，保险公司才支付红利；σ表示干扰系数；W(t)是标准的布朗运动，代表公司不确定的收益或损失.本文假设保险公司收取保费、进行赔付、退保及支付红利均在时间区间(t-1,t]的始端进行.

对上述模型(1)，做如下假设：

2) {M(t),t≥0}是强度为λ的Poisson过程，{Ni(t),t≥0}是{M(t),t≥0}的pi(i=1,2,3)-稀疏过程，即{Ni(t),t≥0}服从参数为λpi(i=1,2,3)的Poisson过程，其中0

3) 假设{Xk,k≥0},{Yk,k≥0},{Zk,k≥0},{Ik,k≥0}之间是相互独立的，且由文献[11]知{M(t),t≥0},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0},{N3(t),t≥0}之间也是相互独立的.

记盈利为：

(2)

为了保证公司的正常运行，须要求E[S(t)]>0,即μy-p1μx-p2μz-p3μi>0,因此定义相对安全负荷系数

定义T=inf{t:t≥0,U(t)<0}(infφ=∞)称为破产时刻，ψ(u)=Pr(T<∞|U(0)=u)称为最终破产概率.

3 主要结论

引理1[13 ]盈利过程{S(t),t≥0}有如下的性质：

(1)具有平稳独立增量；

(2)E[S(t)]=(μy-p1μx-p2μz-p3μi)λt>0；

(3)存在正数r,使得E[e-rS(t)]<∞.

引理2对于模型(1)的盈利过程{S(t),t≥0},存在一个函数g(r),使得E[e-rS(t)]=eg(r)t,其中

(3)

LY(r)=E[e-rY]，MX(r)=E[erX].

证明根据Laplace变换和矩母函数的定义知：

故

·E[exp{-rσW(t)}]=expt{λ[LY(-r)-1]+λp1[MX(r)-1]

再令

即得E[e-rS(t)]=eg(r)t.

引理3方程g(r)=0存在唯一正解R,称其为调节系数.

证明∵g(0)=0,

=λ(μy-p1μx-p2μz-p3μi)<0，

证明∀v≤t,根据引理2有

引理4[12]T是ξs停时.

定理2模型(1)的最终破产概率满足Lundberg不等式：

ψ(u)≤e-Ru,

其中R为调节系数.

证明因为T是ξs停时，任取t0≤∞,易知t0∧T仍是ξs停时，且有

e-ru=Mv(0)=E[Mv(t0∧T)]=E[Mv(t0∧T)|T≤t0]Pr{T≤t0}

+E[Mv(t0∧T)|T>t0]Pr{T>t0}≥E[Mv(t0∧T)|T≤t0]Pr{T≤t0}

=E[Mu(T)|T≤t0]Pr{T≤t0}.

(4)

因为当T<∞时，有u+S(t)≤0,故

(5)

定理3模型(1)的最终破产概率为

其中R为调节系数.

证明在(4)式中取r=R得

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]Pr{T≤t0}+E[e-RU(t0)|T>t0]Pr{T>t0}.

(6)

以I{U(t0)≥0}表示集合{U(t0)≥0}的示性函数，则有

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]Pr{T>t0}=E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}].

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1,依据强大数定理可知，当t0→∞时，U(t0)→∞.a.s.所以由控制收敛定理可得

因此在(6)式两端令t0→∞，即可得证结论.

推论1在模型(1)中，设收取的保费Yk，理赔额Xk，退保保单的给付额Zk，支付的红利额Ik分别服从参数为α1,α2,α3,α4的指数分布，则调节系数R满足的方程为：

(7)

4 几个例子

表1 不同初始准备金u对应的破产概率上界

由表1可以看出初始资本金越多，破产概率就越小，这说明保险公司在条件允许时应尽量增加初始准备金.

例2设λ=20张/天，σ=1,p1=0.5%,p2=0.05%,p3=0.005%，收取的保费Yk,理赔额Xk,退保保单的给付额Zk,支付的红利额Ik分别服从参数为

的指数分布，针对不同的μx,μz,取不同的初始准备金u，利用(7)式得到其调节系数R与对应的破产概率上界e-Ru如表2.

表2 调节系数R与破产概率上界e-Ru的模拟结果

由表2可以看出:当初始准备金和退保额一样时，理赔额越大，破产概率上界就越大，调节系数越小;当理赔额与退保额固定时，破产概率上界随着初始准备金的增加而减低，这与保险公司的实际经营状况完全符合.

例3设保单到达速率为λ=20张/天，σ=1,p3=0.005%，收取的保费Yk，理赔额Xk，退保保单的给付额Zk，支付的红利额Ik分别服从参数为

的指数分布，初始准备金u=10000,取不同的p1,p2得到的破产概率上界如表3.

表3 不同的p1, p2对应的破产概率上界

由表3可以看出当p2一样时，p1越大，即平均索赔比例越大，破产概率就越大；当p1一样时，p2越大，即退保比例越大，破产概率上界就越大.因此，当理赔和退保发生时，保险公司要合理做好相应的工作，减低理赔和退保比例，使公司稳定发展.