直观想象视域下的空间几何体的外接球问题＊

2020-06-17 08:04陆享飞

■陆享飞

研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识。试题多是相对灵活的中档问题，解题的关键是确定想象出球与多面体的位置关系，以及找出外接球的球心。

一、重视文字语言、图形语言和符号语言的理解，提升直观想象核心素养

例1如图1所示，在三棱锥V-ABC中，∠VAC=∠VBC=90°，VC=6，求三棱锥的外接球的体积。

图1

解析：依题意可知△VAC与△VBC是有公共斜边的直角三角形，据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OA=OV=OC=OB。则球心为VC的中点O，外接球的半径为3。所以。

评注：空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系。解题时并不需要我们画出球，而应想象出球与三棱锥的位置关系。

例2在平行四边形ABCD中，∠CBA=120°，AD=4，对角线，将其沿对角线BD折起使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为多少?

图2

解析：如图2所示，由已知∠A=60°，AD=4，，由余弦定理可解得AB=2，故AB⊥BD。由平面ABD⊥平面BCD，可得AB⊥平面BCD，则AB⊥BC，AB⊥CD。所以CD⊥面ABD，则△ABC与△ACD是以AC为直角边的直角三角形。所以AC即为球的直径，则R=。所以。

评注：折叠类问题对于同学们而言是个难点，故应认真分析折叠前后哪些量变、哪些量不变，平面图形的性质要会用。题中有线面垂直，所以可从线面垂直中抽象出线线垂直，从而转化为四个顶点分布在有一公共斜边的两直角三角形问题，即球心为斜边的中点。

例3有一个三棱锥的六条棱分别是两两为，求这个三棱锥的表面积。

解析：观察长度为三棱锥的棱长，故有两个直角三角形。本题三棱锥图形的放置很关键，应该尽量找到垂直底面的侧棱。

如图3所示，AB=CD=3，AC=AD=2，BC=BD=1，则AB⊥面BCD，△BCD是等腰三角形，底面圆的半径为1，球心到底面圆心的距离为。R2=1+，则。

图3

评注：本题图形位置的摆放很重要。对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志。以形辅数，可以让同学们借助恰当的图形去思考并解题。在几何直观视域下培养同学们的推理与解题能力，需理解图形的特征，把握图形的本质，画好示意图，把握问题的本质。