数学图式的教学运用

【摘   要】数学图式可以使抽象的数学内容变得直观、形象，可以促进学生主动地建构知识。将数学图式合理应用到第一学段数学教学中，对发展小学生的图式意识，提升学习力有很好的作用，而这可以通过日积月累的、富有启发性的引导来实现。

【关键词】数学图式;小学数学;教学

将数学图式合理应用到第一学段数学教学中，不仅可以使抽象的数学内容变得直观、形象，而且可以促进学生主动地建构知识。笔者在第一学段的教学中，就数学图式的运用从以下几个方面入手，取得了预期的效果。

一、借助图式认识“数”

学生认识数的符号一般要经历三个过程：直观操作（或直观观察）—图像符号—数字符号。例如“6和7的认识”，上课一开始可以拿出一堆小棒，让学生来猜一猜、数一数小棒的根数;又或是创设学生熟悉的生活情境（如右图），让学生来数一数、认一认画面上物体的个数。接着，将具体物体的个数转化为数学图式来表示。如引导学生用6个小圆圈来表示有6个小朋友的画面，再画1个小圆圈来表示画面上的老师。同时要让学生理解6个（或7个）小圆圈还可以代表6张课桌（或7条凳子），让学生体会任何表示6个（或7个）数量的物体，都可以用相同数量的图像来表示。然后，用数字符号对6个（或7个）小圆圈的图式进行抽象。

在学生理解数的意义后，可以运用计数器或点子图等多种图式，通过“如果我表示6，应该怎么办？”“要想表示7呢？”等问题，帮助学生理解数的大小关系。

二、借助图式理解算理

计算教学要重视结果性目标（算法），也要重视过程性目标（理解算理）。对于以直观认识、直观理解为主的小学生来说，明白算理是困难的。若能有效运用数学图式，把算式变成图形，化抽象为具象，就可以让学生形象地理解算理。例如，在“20以内数的退位减法”起始课“十几减9”的教学中，教师让学生从实际情境中提出数学问题并尝试列式解答。在这一过程中，虽然有学生用“破十法”计算“15-9”，但多数学生仅依靠他人的口头表述难以理解。因此教师可引导学生画小棒图，提出“零头的5根不够减9，怎么办？”的问题，让学生初步体会“破十”的道理。当学生明白了“个位5减9不够减，就请10出来帮忙”后，通过“从10根里面去掉几根？还剩几根”“剩下的1根怎么办？”（如右图）等问题，逐步抽象出符号运算“把15分成5和10，10-9=1，1+5=6”。再在练习部分，安排实物图、点子图（如下图），通过圈一圈、算一算、说一说，巩固算法，理解算理。在学生有了“十几减9”的学习经验之后，再教学“十几减8”时，可完全放手让学生“画图计算”。

三、借助图式解释题意

在解决问题的学习中，学生往往能根据知识经验说出解答的方法，但对“为什么用这种方法解答”解释起来却很困难。此时，如果用画图表示隐藏的数量关系，不仅可以为说明解答方法提供帮助，而且可以加强学生对问题的理解。例如“求原来有多少”的数学问题，有学生能说出用加法计算，但要说明为什么选择加法计算却含含糊糊。于是“画题意”便成为实用方式。教学中，通过“老师领走了几个？（画7个○表示）”“都领走了吗？还剩下几个？（画5个○表示）”“现在题目问我们什么？”“原来是什么意思？（画‘大括号及‘？表示）”等一系列问题，带领学生一步步把题目的意思“画”出来，使学生清楚地看到原来的哨子分成了两部分：一部分是领走了的，还有一部分是剩下的。要求“原来有多少个哨子？”就要把这两部分合起来，肯定用加法计算。

四、借助图式引入新知

对一些“学生已经知道了什么”的数学课，在导入设计上，可以借助数学图式展现学生已有的知识经验，并将学生的经验当成教学展开的重要资源。例如在教学“乘法的初步认识”这一内容时，就不能无视学生的已有经验。事实上有相当一部分学生已经听说过“乘法”，而且能够背诵部分乘法口诀。基于此，笔者以儿童生活经验为切入口，开门见山，直接揭题，让学生表达对于“乘法”的了解，其中既包括正确的认识，也包括错误的、模糊的理解，并让学生画图表示自己心目中“3×4”的意思。学生有用加法模型（画了1个3和1个4）表示的，有用聚集模型（等量组）表示的，也有用矩形模型表示的。教师依此介入，引导学生对乘法的含义进行抽象概括。在反馈过程中，以图1为例，重点交流“3在哪里”“4在哪里”，并通过圈一圈（“3”在哪里）、数一数（“4”在哪里）、说一说等活动，引导学生逐步抽象出“几个几”。这里画图只是手段，乘法含义的表达才是真正的目的。

五、借助图式探究新知

数学学习的素材，可以由教师提供，也可以由课堂动态生成。对于某些探究味较浓、抽象性较强的概念课，可以让学生以在操作或画图中生成的不同的图式作为学习素材，帮助其聚焦概念的本质特征。例如教学“分数”这一抽象的概念時，在借助平分1个圆形月饼认识“[12]”后，组织学生用长方形纸，通过折一折、画一画，表示出[12]，生成不同表征形式的图式。同样，认识了[13]，[15]后，提出问题“你想把1个月饼平均分给几个小朋友，每人得到几分之几个呢？”并组织学生用手头的图形纸（不局限于长方形，可以是正方形、圆形）表示出自己所想的“几分之一”。如下图是不同图形的[14]，使学生从不同的角度理解分数的意义——只要把它平均分成几份，其中1份就可以表示几分之一。

六、借助图式拓展练习

精心设计习题，注入图式表征元素。例如“100以内数的认识”的教学，在练习拓展部分，先给出两幅具有两位数结构的实物模型：第一幅图呈现6盒铅笔和一些单支铅笔;第二幅图呈现了7盒汤圆和一些单个汤圆。在学生看图说数之后，将实物模型抽象为大小不同的矩形模型，并让学生讨论“如果这里表示65，你觉得这个大长方形表示几？这个长方形表示几？”“这里有几个十？还有8个汤圆没表示出来，你觉得怎样表示好？”让学生初步感知不同大小的图形可以表示不同的数值。在此基础上，让学生画图表示出“56”这个数。

在学习“有余数的除法”时，学生经历了由具体到抽象的过程（见下图），却没有经历由抽象到具体的过程。于是教师安排了“找朋友”的练习题。该题分两个小层次推进：第一层次是让学生看算式找图。由于“11÷4=2……3”找不到对应的图式，第二层次便是让学生画图表示该算式，提高对有余数除法意义的理解，提升学生的思维品质。

七、引导学生用图式

让学生将数与运算的意义、数学关系、问题题意等用直观的图式表现出来，有助于学生体会到图式思维的意义，也能为今后的学习打下基础。

（一）画“数”

例1： 用你喜欢的方式，在下面的方框里表示出“412”这个数。

“数感”的主要表现之一就是“能用多种方法来表示数”（课标实验稿）。有学生根据自己在认数过程中摆小棒、拨计数器的操作经验，将“数”转化成小棒图、计数器。也有学生依赖平时的学习经验，用不同图形对“数”进行个性化表示。

（二）畫关系

例2：用图表示“梨的个数是苹果的3倍”。

用画图的方式分析数量关系是数学上常用的解决问题的手段。学生通过画图表示出梨与苹果数量之间的结构关系，加深学生对画图分析数量关系的认识。不同的图式表征的背后体现了学生不同的图式水平，大多数学生已经初步具有图式意识，但还停留在依据具体实物思考的阶段。

（三）画题意

例3：两个完全一样的正方形，边长为4厘米。如果把它们拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少厘米？请先用图表示出信息，再列式解答。

直观图的介入，有利于学生解决问题方法的多样性。全班有31.3%的学生采用“数边”的策略，26.7%的学生应用公式计算周长，还有25.8%的学生采用“周长之和减去重合边”的方法，反映出不同学生思维水平的差异。这种差异的呈现，对教师了解学生的知识技能掌握情况、思维特点和能力水平是十分有益的。

发展小学生的图式意识，让图式意识促进学生创造性地学习知识，提升学习力，是可以通过日积月累的、富有启发性的引导实现的。

参考文献：

[1]葛素儿.通过图像表征促进小学数学理解教学[J].课程教学研究，2012（12）：22-25.

[2]周君斌.浅谈如何有效提升学生抽象思维水平——以几个典型概念教学为例[J].新教师，2019（3）：39-40.

（浙江省台州市路桥小学   318050）