“研”“磨”，让课堂越发醇香

曹彬

近两年来，笔者在各种场合多次执教“小数的意义”一课。通过对本课的研究与解读，结合数学团队的智慧，笔者对小学阶段“数的认识”的教学增进了很多理解，这一过程可分为三个阶段。

第一阶段

以生活情境为入口、以学生活动为主要学习途径、以发展学生数学活动经验为主旨。

【教学研究】

1.创设生活情境，唤醒学生的认知经验

在生活情境中学习数学，是数学教育的有效途径。微信红包是大家经常接触的素材，教师从0.1元的微信红包引入新课，使学生在熟悉的生活情境中发现一位小数。再利用0.61元的红包，引导学生思考两位小数的意义。学生从已有的生活经验出发，探索小数意义的学习。

2.利用数形结合，明确两位小数的意义

数形结合是理解小数意义的重要的思想方法。教师从正方形入手，把它平均分成10份、100份、1000份，通过对图形的观察、分析，以形解数，化抽象为直观，帮助学生直观理解小数与十进分数的联系。

3.设置变式练习，进一步把握小数意义

除了利用正方形明晰小数与十进分数的联系外，还设置了在数轴上找数的练习，先把0到1之间平均分成10份，再平均分成100份、1000份，使学生通过另一种途径理解小数的意义。

4.明确知识联系，把握前后学习的脉络

在总结回顾环节，先回顾把整数1平均分成10份得到0.1、把0.1平均分成10份得到0.01、把0.01平均分成10份得到0.001……再引导学生反向思考：10个0.001是0.01，10个0.01是0.1，10个0.1是1，10个1是10，从小数联系到整数满十进一的计数法则，沟通小数与整数的联系，体会小数在数的体系中的重要地位。

【课堂片段】

师：刚才我们通过把一个正方形平均分成10份，知道了一位小数与十分之几的联系。现在的涂色部分还能用一位小数来表示吗？

生：不能。

师：为什么不能用一位小数来表示呢？

生：因为这个数比0.6大，比0.7小。

师：你想用什么样的小数来表示呢？拿出作业纸，用自己的方法开始探究。

生：我把第7列平均分成了10份，发现这里的涂色部分正好是其中的1份，所以我用0.61来表示。

师：他把这一列平均分成10份，也就相当于把整个正方形平均分成了多少份？

生：100份。

师：阴影部分占其中的多少份？

生：61份。

师：这里的阴影部分可以用什么小数表示？又可以用什么分数表示呢？

生：可以用0.61表示，也可以用[61100]来表示。

师：通过这样平均分，我们知道了0.61也就表示[61100]。

【课后思考】

1.对生活素材的把握是否到位

教师常常会用学生熟悉的东西来唤醒学生的生活经验，引发学习热情。记得在教学“小数的性质”一课时，教师创设了乘坐出租车来学校，用微信红包付款的情境，并用手机界面是18.50元，引发学生讨论这里的“0”表示什么，学生的学习热情一下子被调动起来了。但在本节课中，孤零零的一个红包数字，对学生并不具有特别的吸引力，甚至有学生提出：“0.1元的红包太小了！”笔者也觉得这样的生活素材，作用不大，甚至有一点点副作用，收红包的情境其教育价值也值得商榷。我们的课堂教学需要有价值、有意义、有吸引力的生活情境。

2.对学生的自主生成把握是否到位

学生在三年级时已经认识了一位小数，初步知道一位小數表示十分之几。本课的重点在于两位小数与百分之几的联系。在教学中，当学生基本了解了一位小数的意义后，教师提问：你能在这幅图中表示出0.61吗？学生利用知识之间的联系，尝试把第7列平均分成10份，用其中的1份来表示0.01，合起来就是0.61。虽然明白了0.61的意义以及百分之一与0.01的联系，但这样的学习还是在教师的引导、提示、精心的预设下被动生成的结果。

3.对知识表征的一致性把握是否到位

美国著名数学教育心理学家莱什指出：“学生必须同时具备以下三个条件才是真正理解了一个数学概念：第一，他必须能将所学数学概念放入不同的表征系统之中;第二，在给定的表征系统内，他能够很好地处理这个概念;第三，他必须很精确地将此概念从一个表征系统转换到另一个表征系统中，即在不同的表征系统之间任意切换。”本课中，为了让学生从多角度来认识小数，教师先通过正方形的平均分来切入，在练习中又利用数轴，让学生在数轴上表示出0.8、0.01等小数。虽然也是利用不同的表征方式，从不同的角度理解小数的意义，但还是感觉比较生硬，也不够多元，就像是把两根树枝强行绑在一起，并没有同根同源、气血相连的整体性。

4.对知识之间的联系把握是否到位

脑科学认为，新的链接是要在原有链接上生长出来的，否则这个链接就是无本之木，只是一种碎片化的知识。为了体现小数与整数的联系，本课从“1”出发，把1平均分成10份得到0.1，再把0.1平均分成10份得到0.01……以此体现了小数从整数“1”开始细分的过程。但事实上，小数在小学“数”的体系中占有特殊的位置，它是十进分数的特殊表现形式，是否还应该体现数的家族更为深刻的联系呢？

第二阶段

基于以上思考，我们对本课教学中的情境创设、知识生长、系统联系等方面进行了更深入的研究。

【教学研究】

1.让生活情境更有意义

英国教育家彼得·克莱恩说过：“学习的三大要素是接触、综合分析、实践参与。”要想让学生更迅速、更自然、更合情合理地投入到课堂探究中，教师设置的生活情境不仅要符合学生的生活习惯，还要符合学生的学习心理。在第二阶段的教学中，可先让学生观看一个关于步行运动的视频，了解步行是非常好的运动，再将画面定格在手机计步软件的运动红包上，并提示每天步行都会获得0.1元的奖励，步行一周另得奖励红包的信息。通过运动红包的设置从一位小数的认知拓展到两位小数，也体现了生活中积极的一面，突出了立德树人的教育宗旨。

2.让认知矛盾更为突出

建构主义认为：学习不单是知识由外到内的转移和传递，还是学习者主动建构自己的知识和经验的过程。在学生已经理解了一位小数表示十分之几后，教师没有直接给出两位小数的图形，而是设置了一个被遮住的正方形，请学生据此猜一猜运动一周奖励红包的钱数。学生自然地用一位小数来猜测，但当他们发现无法利用原有的认知经验来表示涂色部分时，自然想到用两位小数来表示。新旧知识间的相互作用，使学生丰富和改造了自己的知识结构。

3.让知识联系更加紧密

在第一阶段，教学的重点在小数是由上一级计数单位细分产生的结果上。如果结合小数的意义与小数的产生以及小数与整数的关系来看，小数的意义应该有两条线。一是整数“1”的细分。即把“1”平均分成10份得到0.1，把0.1平均分成10份得到0.01，把0.01平均分成10份得到0.001……体会小数与十进分数的联系。二是沟通细分以后每一个计数单位与整体的关系，即把“1” 平均分成10份得到0.1，把“1” 平均分成100份得到0.01，把“1”平均分成1000份得到0.001……通过这样两条线的沟通，反映知识之间的紧密联系。

4.让概念表征更加多元

数学对象的多样化呈现，能促进数学知识的多元构建。对于“一位小数表示十分之几、两位小数表示百分之几、三位小数表示千分之几……”对于这样的概念，教师可借助数形结合的方法，让学生从不同的角度进行感受：除了把正方形平均分成10份、100份、1000份外，还可通过正方体，沟通小数与十进分数的联系。在利用数轴找小数这一练习环节中，教师设置一个把正方形变形成数轴的动画过程，不仅增强了趣味性，更是通过这样的变化体现了不同表征之间的联系。

【课堂实录】

师：刚才的红包是第一天步行的奖励。当我坚持了一周以后，又收到了一个一周锻炼红包！有多少钱呢？答案就在这个信封里，我们拉出一点来看看！

师：如果还把这个正方形看成1元，你觉得涂色部分表示多少元？

生：涂色部分是这样的7列，所以表示0.7元。

生：不一定是0.7元，因为有一部分被遮住了，不清楚有没有全部涂满。

师：真是个机灵的孩子！我们把信封拿掉看看。现在你想说什么？

生：因为第7列没有涂满，所以我觉得是0.65元。

生：涂色的那一块好像比一半还少一些，也可能是0.64元。

生：这个涂色部分一定是在0.6到0.7之间。

师：同学们的猜测都有道理！涂色部分究竟表示多少元？请大家拿出研究单，用自己的方法进行探究。

生：我量了这个正方形的边长是5厘米，我就把第7列平均分成10份，每份0.5厘米。这里的涂色部分占4份，加上前面的6列，一共表示0.64元。

师：谁还有补充？你这里的一小格表示多少元？（涂红一格）

生：0.01元。

生：我是把这个正方形平均分成了100份，涂色部分占64份，所以表示0.64元。

师：你这里的一小格又是多少元？（在同样的位置涂红一格）

生：0.01元。

（把两张研究单放在一起比较）

师：两位同学分的方法不同，为什么这一小格都表示0.01元呢？

生：第二种方法把每一列都平均分成10份，也就是把1平均分成100份。他们两人的分法实际上是一样的。

师：这里的100份可以看成怎样算的？

生：10×10。

师：显然，把0.1平均分成10份，就能得到0.01。

（板书：0.1 → 0.01）

师：也就是把1平均分成100份，所以0.01就表示……

生：一百分之一。

（板书：0.01 → [1100]）

【课后思考】

1.使概念教学更具有探究性

学生在三年级下学期“认识小数”的学习中，已经掌握了零点几与十分之几的联系，所以在本课的教学过程中，对于一位小数表示十分之几的处理相对是比较快的。而两位小数与百分之几的联系是本课的重点。教学中设置了一个用信封遮住的正方形，一开始学生理所当然地猜想是0.7元，当他们发现无法用一位小数表示时，自然就尝试用两位小数来表示。“用怎样的两位小数来表示呢？为什么你猜的是0.64元，而不是0.63元、0.62元呢？”再用这样的追问，促使学生想到“平均分成10份”，看看涂色部分占几份这样的方法。

把0.1平均分成10份以及把1平均分成100份，是两种有代表性的方法。在介绍、对比、沟通两种方法的同时，学生明白了把“0.1平均分成10份”与“把1平均分成100份”实质上是一致的，其中的1份都是0.01。这样两位小数自然产生了。

根据刚才学习的过程，通过合情推理，学生想到三位小数的产生，是把0.01分成10等份，也就是把1分成1000等份而得到的。

2.使教学的重点更明确

最早使用小数的是我国魏晋时期《九章算术》的作者刘徽，他是按照整数的计数原则，将小于1的数也用类似于整数的形式表达出来，称为“微数”。近代西方数学家柯朗（P.Courant）进行了这样的阐述：“把一个单位区间分成10，然后100，1000等相等的线段，这样得到的点对应着十进位小数。”华师大的张奠宙教授也指出：“以小数的形式表示十进分数，其不仅简单，而且与自然数的写法保持一致。”

因此，对于小数意义的研究，分数只是一个描述计数单位的工具，“十进”才是本质与重点。把整数“1”分成10等份，得到0.1;把0.1分成10等份，得到 0.01;把0.01分成10等份，得到 0.001……也就是把整數“1”按10等份、100等份、1000等份……地分。这样既能体现相邻两个小数单位之间“十进”与“十分”的联系，又体现了各个小数单位与“1”之间的联系。

3.使数学知识更加系统性和结构化

在教学中，教师把整数“1”进行细分后得到了更小的计数单位。为什么要细分？是因为要更精确地表示比1小的数。细分的原则是什么？从左往右看是化一为十，从右往左看是满十进一。在本课最后环节，教师借助与课前走路视频相呼应的百米赛跑视频，让学生感受小数的精确性，在对板书的观察中又帮助学生更好地掌握小数与整数的联系，体会到数学知识的系统性和结构化。

这些问题其实并没有直接提出，而是隐藏在这一教学环节中，所占的时间虽然不多，但这种沟通使得学生对小数的认识更完整、更通透。笔者认为，学生在后续学习小数的数位和计数单位、小数的大小比较、改写和近似数等内容时，一定会因为今天的学习而产生一种豁然开朗的感觉。

第三阶段

通过前两个阶段的教学实践，笔者感觉对于小数的产生、小数的意义、小数在整个知识体系中的联系都有了较为合适的处理。但是在后续的教学中，对以下教学环节有教师提出了异议。

师：如果把这个正方形看作1元，0.1元可以怎样表示？

生：平均分成10份，每份就是0.1元。

师：把1平均分成10份，就能得到0.1。

（板书：0.1）

师：把0.1元写成分数是多少元？

生：[110]元。

师：也就是说0.1元就表示……

生（齐答）：[110]元。

师：现在的涂色部分又是多少元？

生：0.2元或[210]元。

师：0.2元就表示？

生：[210]元。

师：在这个正方形里，除了涂色部分，你还能找到什么小数？

生：空白部分就是0.8元，也就表示[810]元。

有教师提出：小数与分数的相互关系究竟应该是怎样的？根据把正方形平均分成10份，得到的应该是0.1还是[110]呢？在苏教版五年级上册第三单元第一课时“小数的意义”教学中，教材是用长度单位的换算引入的：1分米=[110]米=0.1米;1米=100厘米，1厘米就是[1100]米，写成小数是0.01米;[4100]米写成小数是0.04米。那么，在我们的教学中，先说出小数0.1，再说明分数可以写成[110]，然后指出0.1就表示[110]，这样的顺序是否合理呢？在教学中，我们发现这样的顺序没有什么问题，学生也能理解小数的产生与意义，但是总觉得与教材的顺序是相悖的。

當然，在产生两位小数的过程中，还有很多改进的空间，比如怎样才能更加体现学生自主生成的过程，使课堂凸显学生思维的过程，把学生数学学习的成长过程体现得更明显。

研磨一节课，重在过程，重在思考，重在提高对教学内容的理解和贯通，重在更好地促进学生的发展。

参考文献：

[1]（美）戴尔·H.申克，著.学习理论[M].韦小满，译.南京：江苏教育出版社，2009.

[2]唐彩斌.关于小学“数学本质”的对话[J]. 人民教育，2009（2）.

（江苏省南通师范学校第二附属小学  226000）