一种测量圆柱腔内壁介质薄膜厚度的方法

张淑娥，喻星源

(华北电力大学 电气与电子工程学院，河北 保定 071003)

0 引 言

微波谐振腔微扰技术[1-4]采用微波圆柱谐振腔作为湿度传感器，适用于汽轮机末级湿蒸汽湿度的测量。由于湿度传感器长期放置在湿蒸汽环境中，谐振腔内壁表面会沉积一层水膜和盐垢，不仅会增加介质损耗降低品质因数，而且会使谐振频率发生偏移增大测量误差。当排汽压力为4 kPa时，35 μm厚度的水膜引起的湿度测量误差为1.262%，且随着水膜厚度增大，此测量误差呈指数增加[5]。若能准确测量沉积介质薄膜的厚度，就可通过理论分析扣除误差，提高湿度测量精度。

目前国内外介质薄膜的测量方法主要有光学法[6-9]、电学法[10-12]、超声波法[13-14]、微波同轴腔法[15]及光纤法[16-17]。光学法和电学法只适用于平面液膜厚度的测量；超声波法可测量油膜和污垢，但在测量微米级薄膜方面精度还有待提高；微波同轴腔法易于实现，可进行湿度和水膜的在线测量，但目前的文献只利用微波法测量平面水膜厚度。以上方法中只有光纤法可以测量曲面液膜[17]的厚度，但设备复杂且造价高。所以，迫切需要一种适用于圆柱腔内壁介质薄膜厚度的测量方法来满足汽轮机蒸汽湿度测量的要求。

本文基于介质微扰法原理提出一种用于测量圆柱腔内壁介质薄膜厚度的方法，设计了双曲线开缝形谐振腔传感器，使其工作在TE111模式来测量介质薄膜厚度。

1 TE111模式测量水膜的可行性分析

假设水膜均匀分布在圆柱腔内表面，可将水膜等效为具有一定厚度的圆柱环电介质。根据介质微扰原理，当谐振腔的尺寸不变，在腔内壁环绕一层电介质时，电介质内的电场发生变化，同时引起谐振腔谐振频率改变[18]。因此，可以通过测量谐振频率间接确定环绕电介质的厚度。经推导发现，仅有径向电场分量对谐振腔的谐振频率有影响，切向电场分量对谐振频率基本没有影响。圆柱谐振腔内常见的模式有TE111、TE011和TM010，只有TE111模式有径向电场分量且模式最低[19]，比较容易激励，而且可以避免干扰模的影响，所以选择TE111模式来测量水膜厚度。结合介质微扰公式和TE111模式的场方程可以建立起水膜厚度与谐振频率的关系模型，具体推导过程如下：

TE111模式电场的径向分量Er和切向分量Eφ为

假设微扰前谐振腔内无水膜时体积为V0，电场强度为E0，磁场强度为H0，谐振频率为f0；微扰后谐振腔内壁沉积一层体积为ΔV的介质，电场强度为E，磁场强度为H，谐振频率为f；介质微扰公式[18]为

将此公式应用于水膜测量系统中。微扰前谐振腔内填充湿蒸汽，相对介电常数为εrm；微扰后谐振腔内壁沉积一层水膜，水的相对介电常数为εr；微扰前后谐振频率变化量Δf=f-f0。在25 ℃ 时εr约为81，εrm<1.01，由于填充介质为水，所以，微扰前后磁导率基本不变，即Δμ=0，故式(3)可简化为

由于TE111模式下的电场可分解为径向分量和切向分量，设微扰前径向分量为Er0，切向分量为Eφ0；加了水膜后电场的径向分量Er=Er0/εr，切向分量Eφ连续，即Eφ=Eφ0；所以水膜微扰公式为

将TE111模式的电场方程代入式(5)，经推导得到水膜厚度d与谐振频率的关系式为

式中：w=kc1r；J0、J1和J2分别为0阶、1阶和2阶贝塞尔函数。由式(6)可知，由谐振频率可求得d。

采用HFSS软件仿真验证：由于此方法是用于测量汽轮机内湿度传感器内壁d，所以延用湿度传感器的尺寸。设计一内径为20.59 mm、高度为41.18 mm的封闭谐振腔，腔内填充汽轮机末级的湿蒸汽，使其工作在TE111模式下。汽轮机内蒸汽湿度一般不超过15%，所以分别仿真蒸汽湿度为0、5%、10%和15%时，取不同水膜厚度对应的谐振频率。由文献[20]可知，当温度为40 ℃时，不同蒸汽湿度对应的εrm分别为1.000 610 5、1.000 614 7、1.000 617 7和1.000 620 9。图1所示为不同蒸汽湿度条件下，水膜厚度d与谐振频率偏移量的关系曲线。

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图1 不同蒸汽湿度条件下水膜厚度d与谐振频率偏移量的关系曲线

图1的仿真结果表明：对于同一d，蒸汽湿度对谐振频率基本没有影响；而d对谐振频率有着明显的影响，且随着d的增加谐振频率逐渐减小，d与谐振频率偏移量呈线性关系。以上理论和仿真结果均证明，在TE111模式下通过d与谐振频率的关系可进行d的测量。但在实际测量过程中，为保证谐振腔的流动特性，使湿蒸汽可以自由通过谐振腔且取样准确，需要在谐振腔的两端隔离器上开缝。开缝需要解决的主要问题是电磁辐射的问题。电磁辐射不仅会降低谐振腔的品质因数和测量精度，还会增加介质损耗，近年来电磁辐射污染已被列入四大污染之一，危害工业安全和人体健康[21]。

2 TE111模式下谐振腔端面电流密度线数学模型

为了使电磁辐射达到最小，隔离器的开缝形状必须与谐振腔端面电流密度线完全吻合，才能保证电流线不被切断，电磁能量不会辐射出去，所以，需要得到准确的谐振腔端面电流密度线数学表达式。由于TE111模式下谐振腔端面电流密度线的数学表达式目前还没有文献给出，所以本文通过数学推导建立了谐振腔端面电流密度线的数学模型。具体推导过程如下：

使谐振腔工作于TE111模式下，谐振腔端面电流密度径向分量Jr与切向分量Jφ的表达式如下：

将Jr与Jφ代入式(11)，化简后可得：

式中，c为常数。取不同的c值，用Matlab软件在极坐标下画出曲线簇，图2所示为极坐标下TE111模式的电流密度线分布图。

图2 极坐标下TE111模式的电流密度线分布图

令φ=0，设(r0,0)为曲线与极轴的交点，则c与r0满足关系c=J1(kc1r0)，r0与c是一一对应的关系。只要确定曲线与极轴的交点即可画出过此交点的电流密度矢量线，且所有的矢量线均不相交。r0的范围为0～20.59，对应的c的范围为-0.581 9～0.581 9。

至此谐振腔端面电流密度分布线数学模型建立完毕，下文利用此数学模型通过HFSS仿真软件确定谐振腔隔离器的结构。

3 谐振腔隔离器结构建模仿真

采用HFSS仿真软件设计一个与湿度传感器尺寸相同的圆柱谐振腔，内径R为20.59 mm，长度l为41.18 mm；该谐振腔内部填充湿蒸汽，工作在TE111模式下。由于同轴线可以传输横电磁波TEM模式且工作频带较宽，所以选用尺寸较小的同轴线做激励。同轴线采用环耦合方式耦合到谐振腔，通过磁场耦合激励起TE111模式。对耦合环的金属直径R2及环直径R1进行优化，优化后得到：当R2为0.2 mm、R1为2.2 mm时，谐振腔在低频段只能激励起TE111模式，且附近没有别的干扰模式。激励耦合结构的具体尺寸如图3所示，蓝色部分为导体材质黄铜，白色部分为内置绝缘体材料聚四氟乙烯(Teflon)。在实际工程中采用网络分析仪来检测谐振腔的谐振频率。经理论计算得知，此谐振腔工作在TE111模式下的谐振频率在5.641 GHz，所以使用网络分析仪扫描时将扫频范围设置在5.641 GHz附近的区间内，此时得到的谐振频率即为谐振腔工作在TE111模式下的谐振频率。

图3 激励耦合结构的尺寸

3.1 隔离器金属条数量及定位

由于谐振腔两端的隔离器结构相同，所以取一端的隔离器为例进行讨论。由电流密度线分布特征可知：与x轴重合的电流密度线电流密度最强，沿中心线到两侧方向电流密度逐渐减弱。所以先确定一与x轴重合的中间金属条，其他金属条均关于中间金属条对称，且按中间密两端疏的原则排列。分别设置隔离器金属条数为5、7、9和11，隔离器厚度暂设为15 mm，图4所示为不同金属条数的谐振腔隔离器，4种结构的谐振腔均工作在TE111模式下，且电场性能良好。

图4 不同金属条数的谐振腔隔离器

用HFSS软件仿真：设置一长为200.00 mm、宽为126.59 mm、高为160.00 mm的空气腔作为辐射边界，为了防止谐振腔激励端口处有能量反射从而影响仿真的辐射量结果，将辐射边界中与激励端口平行的面与端口所在平面重合。设置外界输入功率为1 W，分别统计不同金属条数谐振腔的辐射功率W和耦合进谐振腔的输入功率Pin。定义电磁泄露率η为

表1所示为不同金属条数谐振腔对应的η。由表可知，当金属条数为9时，η最小，说明辐射特性最好，所以确定两端隔离器的金属条数均为9条。

表1 不同金属条数谐振腔与电磁泄露率η对应表

3.2 隔离器厚度的确定

图5 双曲余弦缝隙谐振腔隔离器正视图

图5所示为双曲余弦缝隙谐振腔隔离器正视图。此水膜测量谐振腔的隔离器可看成多个类似于矩形波导的不规则波导，这些波导都为截止波导，以其中一个波导为例进行分析。图中红色虚线框内为中间金属条与相邻金属条构成的波导1，将此截止波导近似看成矩形波导的分析。谐振腔的工作频率约为5.6 GHz，对应的工作波长为5.36 cm。波导1中a的范围为3～5 mm，对应的TEn0模的最大截止波长为10 mm。由于工作波长λ大于矩形波导的最大截止波长λc，所以，此波导处于截止工作状态，且TEn0模的场为衰减的场。依据式(15)计算出各波导对应的最小衰减系数α：

由于各波导内场的幅度沿z轴方向呈指数衰减，根据它们的关系即可得到各波导对应的最大衰减距离，如表2所示。

表2 各波导对应的最大截止波长、

由表可知，最长衰减距离为18.74 mm，只要隔离器厚度h大于这个长度，η就可以趋近于0。下面用HFSS软件对此理论进行仿真验证。设h为2～33 mm，间隔为1 mm，图6所示为输入功率为1 W时h与W的关系曲线。由图可知，当h从2 mm增大到33 mm时，辐射功率呈指数衰减，最后趋近于0，与理论相符。综合考虑辐射功率和加工成本问题，取h=19 mm，此时的η为6.79e-5%，基本接近0。

图6 h与辐射功率的关系

3.3 传感器结构

在测量圆柱腔内壁d时，传感器的结构和性能非常重要。既要保证良好的电磁特性和辐射特性使辐射量达到最小，又要保证良好的流动特性使取样准确。基于良好的电磁特性、辐射特性和流动特性，本文提出一种双曲余弦形开缝结构的谐振腔传感器，图7所示为谐振腔结构示意图，端面上圆筒内的黑色线条为金属条，金属条宽度均为1 mm，白色部分为缝隙。

图7 谐振腔结构示意图

由于本文测量圆柱腔内壁d的方法是应用于汽轮机末级的湿度传感器，所以此水膜测量谐振腔的放置位置应与湿度传感器一致，都放置在汽轮机末级的排气缸内。图8所示为谐振腔的放置位置结构总览图，使谐振腔两端开口面与蒸汽流向垂直，保证湿蒸汽顺利进入谐振腔。此外，若该谐振腔应用于其他场合的介质薄膜测量，其也应放置在进气口，迎风即可。

图8 谐振腔的放置位置结构总览图

为了减小取样误差，保证谐振腔传感器良好的流动特性，使湿蒸汽两相流可自由通过谐振腔且流动阻力小，将金属条的宽度设为1 mm，并在谐振腔入口处加楔形取样前端[22]，用Fluent软件对谐振腔的流动特性进行仿真。取谐振腔楔形取样前端入口角度为26.5 °，流场为长1 200 mm、半径240 mm的圆柱体，计算区域采用六面体结构化网格，流场计算采用压力-速度耦合方程求解；边界条件采用压力远场边界，主蒸汽压力为5 000 Pa，主蒸汽温度为33.15 ℃，马赫数0.2，水滴半径为0.3 μm。饱和水滴运动轨迹如图9所示，由图可知，湿蒸汽两相流可自由通过谐振腔，谐振腔的流动特性良好。

图9 饱和水滴运动轨迹图

4 介质厚度对谐振频率的影响

为了验证此谐振腔开缝以后性能良好，仍可准确测量水膜厚度d，取d为10～200 μm，间隔为10 μm，分别仿真相同尺寸的封闭腔和开缝腔取不同d时对应的谐振频率，将仿真结果的数据处理成d与频偏的关系曲线，如图10所示，频偏指谐振腔内壁无水膜和有水膜时对应的谐振频率差值。由图可知，封闭腔和开缝腔水膜厚度d与频偏基本都呈线性关系，且变化趋势相同，但开缝腔的频偏整体比封闭腔的频偏小2 MHz，这是由于谐振腔隔离器缝隙间的空气引起的频率偏移。由3.2节可知，隔离器可看作多个不规则的截止波导，这些截止波导内截止的TE波主要储存磁场，可等效成电感器件。谐振腔可等效为由电感、电容和电阻并联的谐振回路，现由于截止波导使电感增大，所以导致谐振频率减小。但这并不影响水膜的测量结果，本文关注的是d与频率偏移量的斜率。仿真结果表明，开缝基本没有影响到谐振腔原本的良好特性，符合设计要求。

此双曲余弦形缝隙谐振腔不仅可以测量圆柱腔内壁d，还可以测湿度传感器内壁盐垢、汽轮机内的润滑油模和污垢等。湿度传感器内壁沉积盐垢的成分主要有CuO、MgO、Fe2O3和CaO等[5]，汽轮机内污垢的主要成分跟盐垢相似，除此之外还包括一些酸不溶物和氧化物。以表3中的介质为例，仿真这些介质不同膜厚时对应的谐振频率，并将仿真数据处理成介质薄膜厚度与频偏的关系曲线如图11所示。

表3 介质物理参数表

图11 介质薄膜厚度与频偏关系曲线

由图可知，表3中的介质薄膜厚度与谐振频率偏移量均呈线性关系，相对介电常数较小的介质薄膜对应的关系曲线斜率较小，相对介电常数较大的介质薄膜对应的关系曲线斜率较大。以上仿真结果表明此双曲余弦开缝形谐振腔可准确测量圆柱腔内壁水膜、盐垢、油膜和污垢等介质薄膜的厚度。

5 结束语

本文基于介质微扰法的原理设计了双曲余弦形缝隙谐振腔传感器，使其工作于TE111模式来测量介质薄膜的厚度。首先，结合TE111模式的电场和介质微扰原理理论推导了谐振腔内壁水膜厚度与谐振频率的关系，并通过仿真验证了湿度对TE111模式下测量水膜没有影响；然后，通过矢量场方程的方法建立了谐振腔端面电流密度分布线的数学模型，并根据此数学模型经仿真优化确定了谐振腔隔离器开缝的结构，仿真结果表明，此谐振腔传感器电磁特性、辐射特性和流动特性均良好，此谐振腔的电磁泄漏率基本为0，取样误差为-1.25%；最后，研究了不同介质薄膜厚度对谐振频率的影响，发现不同介质薄膜的厚度与其对应的频率偏移量均呈线性关系，与理论相符。此方法可用于测量任何圆柱形金属内表面的介质薄膜，包括盐垢、污垢、油膜和氧化层等，具有广泛的应用价值。