追本溯源 不忘其根

文仇玉海

（作者单位：江苏省盐城市初级中学）

分式方程有解与无解都与增根有着密切的联系。有解是指整式方程有解且这个解不是增根。无解分两种类型：（1）整式方程有解，且这个解是增根；（2）整式方程无解。鉴于此，下面老师以几道中考试题为例与大家一起分析，构建解题思路。

一、由分式方程增根求字母的值

解：方程两边都乘（x-2），得

3x-x+2=m+3。

∵原方程有增根，

∴x-2=0，

解得x=2，

将x=2代入整式方程，得m=3。

故答案为3。

【评析】要理解分式方程增根产生的原因。增根是分式方程化为整式方程后产生的不适合分式方程的根。我们可以先确定增根的值，让最简公分母x-2=0，得到x=2，然后代入整式方程算出m 的值。所以增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求得相关字母参数的值。

二、由分式方程“有解”求字母参数的取值范围

例2（2019·江苏宿迁）关于x 的分式方程的解为正数，则a的取值范围是 。

解：去分母，得1-a+2=x-2，

解得x=5-a。

由题意得x-2=0，即增根为x=2。

∵方程的解是正数，

∴5-a≠2，5-a＞0。

故a＜5且a≠3。

【评析】“分式方程的解是正数”包含三层含义：①整式方程有解；②这个解不是增根；③这个解是正数。这种情形与增根还是密切关联的。我们求出增根x=2，解出整式方程的解x=5-a，满足5-a≠2 且5-a＞0，所以a＜5且a≠3。

变式（2019·黑龙江齐齐哈尔）关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围为________。

解：方程两边同乘x-1，得2x-a+1=3·（x-1），解得x=4-a，

由题意得x-1=0，即增根x=1。

∵方程的解是非负数，

故答案为a≤4且a≠3。

【评析】分式方程的解是非负数可以理解为：①整式方程有解；②这个解不是增根；③这个解是非负数。只要涉及分式方程的解总绕不开增根。要保证整式方程的解，不能为增根，需要先把这种导致分式方程无解的情况排除，然后才能考虑这个解是非负数，从而确定字母参数的范围。

三、由分式方程“无解”求字母参数的取值范围

A.k＞-4 B.k=4

C.k=-4 D.k＜4且k≠-4

解：分式方程去分母，得k-（2x-4）=2x，解得

由题意得2（x-2）=0，即增根为x=2。

∵分式方程无解，

∴k=4。故选B。

【评析】把分式方程转化为整式方程，发现整式方程一定有解，但分式方程无解，说明整式方程的解是增根，所以故k=4。

解：去分母，得1-ax=x-2，∴（1+a）x=3。

由题意得x-2=0，即增根为x=2。

∵分式方程无解，

∴整式方程的解有两种情形：

（1）当整式方程无解时，即1+a=0，∴a=-1。

（2）当整式方程有解时，且解为增根，即1+a≠0，∴a≠-1。

【评析】关于x 的整式方程ax=b（a、b 为常数，b≠0），它的解可能存在两种情况：①当a=0 时，方程无解；②当a≠0 时，方程一定有解。本题中的整式方程未知数的系数是1+a，所以需要对它进行分类讨论，分为整式方程无解或整式方程有解且解为增根两种情形。

数学家华罗庚说过：面对复杂的问题，善于退，足够地退，退到最原始而又不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。有些同学对于分式方程的增根和无解似懂非懂，认为只是一个概念，这样的想法是错误的。要想彻底弄明白这一类问题，我们需要回到最初增根产生的那一步，理解分式方程与整式方程的关系，无论是在解答有解问题还是无解问题时，都不能忘记考虑增根，要追本溯源，不忘其根。