初中数学教学融入数学文化的途径与策略

摘 要 数学文化的融入，主要靠合法的边缘性参与 .初中数学教学融入数学文化的主要途径有三种：以培养自主自律的学习习惯 为切入点，教学生初步学会学习数学，培养初步的数学品味.培养数学学习习惯的策略有激发内在动机，着重培养数学学 习的专注力与自律性;学会学习数学的策略有学会听数学课、学会数学阅读、学会数学思考;培养数学品味的策略有洞察 数学大概念，明确初中数学基本问题，初步学会鉴赏数学题.

关 键 词 数学文化;融入途径;融入策略

文化，简而言之就是人们的行为习惯、思维方式 与价值观念.我们习以为常的家族聚居，是儒家文化 下的行为习惯.中庸之道是儒家文化下的主要思维方 式之一，立德立言立功是儒家的主要价值追求之一. 数学文化，主要表现为思维方式与价值观念，也就是 2017年版高中课程标准所说的数学的思想、精神、语 言、方法、观点，以及它们的形成与发展和在社会中的作 用.^[1]融入数学文化，就是逐步变成数学家那个样子 ——与数学家具有相同的习惯、品性、思维方式与价 值追求 . 小学阶段，数学文化主要体现在行为层面 ——数学学习习惯.初中阶段，数学文化的表现演变 为较为自主、自律的学习习惯与初步学会学习数学， 也孕育着初步的数学品味.文化的学习与融入，主要 是浸润性的潜移默化.如在某个地方生活久了，潜移 默化地带有了这个地方的口音，或者是合法的边缘性参 与形成默会知识.^[2]如学生跟着教师听课，观摩教师的 示范，遵照教師的指令做练习作业，部分学生在学会 数学的同时，逐渐学会了学习数学.初中生在进一步 形成学习习惯时，也潜移默化地初步养成专注、自律、 严谨等品质.

一、融入数学文化的切入点：激发内在动机，培 养自主自律的学习习惯

小学已经培养了初步的数学学习习惯，如上课常 规、作业常规.这些学习习惯以他控为主，自控性差. 小学生缺乏维持这些学习习惯的内在动机.小学生的 数学学习，主要是满足自己的好胜心，维持与教师、家 长的亲密社交氛围，避免教师家长的批评.一些小学 生对算得快感兴趣，主要是为了满足好胜心，不是真 正对数学感兴趣. 小学生活泼好动、注意力集中时间 较短，自律性差，缺少数学学习所需要的专注、深思等 条件，很难形成对数学的真正兴趣.小学生上课时数 学思维的自主性、主动性较弱.主要是跟随教师的讲 解，被动回应教师的提问，思考的时间短，程度浅，需 要观察、操作、计算、讨论辅助思考.课堂讨论自控性 差，经常跑题.

初中需要培养自主自律的学习习惯，这是融入数 学文化的切入点.初中课堂容量加大，课堂节奏加快， 作业明显增多.教师课堂组织教学的时间显著减少， 家长辅导作业也有心无力.学生的学习责任显著增 强，需要增加学习的自律性.学生进入初中，心智逐渐 成熟，有能力养成较为自主的学习习惯.教师要有目 的、有计划地培养学生的自主学习数学的习惯.第一， 教会学生记笔记.学会记笔记是自主学习的首要表现 之一.初中数学课，需要适当记点笔记便于课后复习. 大部分学生不会记笔记.部分学生埋头记笔记忽略了 积极思考，部分学生只顾听课忽略了记笔记.这都是 缺乏学习自主性的表现.教师需要以自己为榜样，示 范何时记笔记，怎么记笔记，如何兼顾听课与记笔记， 课后如何整理笔记.讲课中，适时指导学生怎么兼顾 听课与记笔记，展示优秀笔记供学生模仿，课后及时、 个别反馈学生的笔记，帮助学生养成听课记笔记的习 惯.第二，帮助学生养成自主参与课堂讨论的习惯.自 主发起课堂讨论或一对一交流，自主决定何时参与课 堂讨论，也是学习自主性的一种表现.这种自主性的 表现需要课堂讨论规范的支撑.教师要建立课堂讨论 规范，示范、指导深度课堂讨论的技巧，激发、支持学 生主动、适时参与课堂讨论，提高讨论的有效性.第 三，教师要示范、指导、反馈作业规范，尤其是利用草 稿辅助构建思路，督促学生及时交课堂、家庭作业，帮 助学生养成主动及时做作业并加以订正的习惯.第 四，教师要鼓励学生课后寻求个别答疑，指导学生如 何向教师、同学、家长、其他社会资源（如家教、网络资 源等）主动寻求答疑.这也是学习自主性的表现.第 五，教师要指导学生形成主动梳理知识，及时复习的 习惯.习惯的养成，离不开教师的示范、指导、反馈矫 正.在这过程中，教师就是数学文化的化身.学生融入 数学文化，就是逐渐变得与教师的行为、品性、思路一 致.教师要表现得稚化一些，通过自己的榜样作用，利 用学生的向师性，使学生通过模仿，合法的边缘性参 与，形成适应初中数学学习的自主自律习惯.

自主自律学习习惯的形成与维持，需要内在动机 的支撑.首先，要激发数学兴趣.兴趣源于好奇.教师 基于数学的发展脉络，激活知识生长点，易于激发学 生的好奇心.例如，由数的运算抽象到整式的运算，学 生源于好奇会感兴趣.如计算200+3+400+5，用字母代 替数，令a = 100，b = 1，变成计算2a+ 3b+ 4a+ 5b，学 生会自主发现整式加法运算规则.学生会对这样的抽 象感兴趣，会进一步搜索自己的算术知识，扩展出新 的整式运算、新的代数式运算对象，如分式及其运算 规则.不断地提出扩展问题会保持这种兴趣，有利于 培养学生的自主学习习惯.其次，帮助学生确定合理 的学习目标.经由不大的努力就能达成的目标，有助 于学生经常体验成功，建立自信，形成对自主学习习 惯的正反馈.再三，塑造可依赖的学习支持系统.对于 一时解决不了的问题，教师要鼓励学生寻求学习支持 系统的个别帮助.学习支持系统的及时响应，有利于 强化学生的自主学习习惯.最后，指导学生形成正确 归因，形成爱拼才会赢的学习信念，帮助学生培养自 律的学习习惯.

初中特别要培养数学学习的专注力与自律性.对 数学持续的兴趣会形成专注力.易于引发学生好奇心 的高认知水平学习任务，容易激发学生持续的学习兴 趣.围绕着主题基本问题的系列扩展问题，是高认知 水平学习任务的一种.如图形的性质是一个基本问 题.由三角形的性质，会扩展出等腰三角形的性质、直 角三角形的性质、平行四边形的性质等系列问题.^[3] 这些滚雪球式的问题串会塑造学生的专注力.教师要 设计塑造专注力的学习环境，来培养学生的专注力. 如在课堂与课外设计系列高认知水平学习任务，课堂 留出充分的思考时间，有针对性地指导与反馈，师生、 生生间有针对性地深度交流 ，便利的图书资源、网络 资源及社会上的针对性学习支持系统.专注力带来自 律.适量且多少有些挑战性的作业、灵活的选做作业， 及时的作业批改与指导，也便于形成学生的自律性 .

二、融入数学文化的着力点：教学生初步学会 学习数学

学会学习，是学习自主性的体现.学会学数学，是 融入数学文化的着力点.

（一）要教学生学会听课

认真听讲是主要的数学学习方式.^[4]小学生主要 是被动跟随教师思路，想得少、浅 .初中生要学会在教 师启发下自己想出一些知识.初中生有了一些数学知 识基础，有点思维能力.当思路被激活了，自己就能想 出一些知识.想出来的知识与教材或教师讲解的结论 验证就行了.这有助于上课的松紧结合.自己想出来 的，速度快，记得牢，有高潮体验，也是学习主动性的 一种体现.学生在自己主动思考基础上，预见到学习 的关键点与难点时 ，去认真听教师讲解 ，有疑惑时主 动寻求教师答疑.教师需要激活知识生长点，设计有 效情境，提出恰当问题，多举恰当样例，比较不同样例 与思路，优化学生思路，借此激活学生思路.教师讲解 时要适当留白或布置思考任务，留给学生自主思考的 机会与时间.教师要教会学生听课时记笔记，支持学 生边听边想，通过计算、画图、操作辅助听课 .

（二）教学生初步学会数学阅读

初中生需要阅读教材、读懂试题、阅读课外书，需 要有初步的数学阅读能力.数学有独特的阅读方式 ——先有大致思路再验证性阅读、自主探寻有效信 息.阅读过程中，要根据初步阅读识别问题类型，调用 相关图式形成自己的大致思路.再依据自己大致的思 路 ，寻找材料中的关键信息并做出解释 ，印证自己的 思路或者否定自己的思路形成新思路.例如，“已知二 次函数y=mx²+ （1 - 2m）x+ 1 - 3m的图像经过非坐 标轴上一定点p（q，$）···"在阅读过程中，首先识别出是 定点问题.调用定点问题图式，定点的坐标是常数，形 成大致思路：“不论m取何值时，该定点p（q，s）的横、纵 坐标与m无关”，于是主动去寻找证据，验证p（q，s）的 坐标与m无关.选择考虑原表达式，整理为y= （x²- 2x- 3）m + x + 1，做出新的解释，当x²- 2x-3 = 0 时，（q，s）的坐标与m无关.这就印证了自己的思路， 算是读懂了题意.教师要通过出声想、讲解、指导等方 式，有目的有计划地训练学生的阅读能力.

（三）教学生初步学会数学思考

学会初步的数学思考，是初中生自主学习能力的 体现，也是融入数学文化的主要策略.学会数学思考，就能够自主提出一些数学问题，发现一些数学结论， 构造一些数学证明（解释），提出一点数学观点.

1. 掌握基本思路.

初中数学知识的发现、发展、论证、解释，主要运 用几种思路.初中生在教师指导下，不断延续运用基 本思路，在学会数学知识的同时，也学会了基本思路. 如对零指数幂的学习.教师通过对负数产生过程的回 顾，指导学生领悟出负数产生的缘由.负数产生的原 因：一是理论上的需要，源于减法运算的不对称（必须 要求被减数大于减数）;二是实践也提出了像 2-3=？ 这样的问题（存在性）;三是像借贷、净胜球等现象也 给出了启发性的算法，打开了理解之门.类似地，教师 提出同底数幂除法运算法则的不对称现象（除法运算 法则多了被除数指数大于除数指数的限制），激发学 生思考解除这个限制，扩展同底数幂的除法法则.通 过引导学生考察像2³* 2³这样一些个例，学生会发展 出零指数幂的概念.进而在教师指导下，进一步发展 出负整数指数幂、分数指数幂等系列概念.学生在学 习基本思路的过程中，开始只能独立做部分思考，需 要教师不断示范、指导 .教师在教学设计时要想清楚 数学知识的启发性、存在性、可理解性、合理性与有效 性，以便指导学生形成完整基本思路 . 在教学时要通 过针对性复习，展示思维过程，激活学生思路，帮助学 生想到问题、想出结论、做出解释论证.教师也要给学 生留出足够思考时间，不能为了赶进度自己讲出来.

1. 要学会质疑

质疑既是一種科学品质，也是数学思考的一种重 要方式.质疑可以发现数学问题，有助于找到新思路 得到新知识.如上述对同底数幂的除法运算法则的质 疑.再如，自然数来自计数.很多学生在小学认为，零 表示“没有”，不会存在比“没有”还小的数 . 从而不愿 接受负数.只有质疑计数是产生数的唯一方式，引导 学生转换视角，才能接受负数比零小.这时，教师要提 供替代经验，激活学生思路，帮助学生想过去，重组知 识，融会贯通 .

1. 要学会反思

学生在思考后要及时评估自己的学习状态，总结 思考经验.如自己最初是怎么想的，同学与教师又是 怎么想的 ，谁的思路更好？别的思路我为什么没想 到？我擅长的思路是什么？鉴于我的特点，我能学会 另外的思路吗？哪里我没想过去，应该怎么想过去 . 哪里我走了弯路，我觉得今后应该怎么想更好 .这样 的反思，会帮助学生根据情境与自身特点选择和学习 策略与方法，帮助学生学会学习.为教会学生反思，教 师要做一些示范供学生模仿，要留出时间、捕捉时机， 给学生提供反思机会，也要指导、帮助学生学会反思.

三、融入学校文化的落脚点：培养初步的数学 品味

文化的核心，是价值追求.数学的价值追求，在初 中主要表现为数学品味.数学品味就是鉴赏、洞察对 学生来说最有价值的数学，或者在数学知识中发现对 学生来说最有价值的维度.进入课堂的数学知识，是 在上千年的过程中，为不同的目的创造出来的.很多 数学知识有不同的用处，其作用在数学史上也多次改 变.很多数学知识在数学中的重要性发生了改变，数 学家对它们的看法也有改变.面对众多的数学知识与 每个知识的众多维度，教师与学生需要数学品味帮助 选择重点学习哪些知识、打开这些数学知识的哪个维 度.这也是融入数学文化的途径之一 .初中生的初步 数学品味，主要体现在初步洞察初中数学的大概念， 初步明确初中数学的基本问题、初步鉴赏数学题.

帮助学生体验、初步洞察数学的大概念.数学大 概念是数学品味的宽泛基础.数学的大概念是指向数 学核心的一个概念、问题或者主题，是相关知识背后 的数学本质 .^[5]它作为理解数学的关键，能够帮助学 生把各个知识点连接起来，有力地解释数学知识，提 供对数学的深刻理解与洞见，具有较大的迁移价值. 比如算术中的运算律、代数中的符号、几何中的证明 与变换、函数中的变化规律.学生自身不容易发现大 概念，需要教师揭示出来 . 如式的运算及其运算法则， 就是用符号代替数转化来的.学生不容易发现，需要 教师有目的地设计教学，揭示出来.学生悟出这个道 理，就能像滚雪球一样，利用自己的算术知识，发展出 更多的运算对象与运算法则.教师在教学时要利用大 概念启发学生的思考，帮助学生选择重点内容，帮助 学生利用大概念组织知识结构，帮助学生利用大概念 整合认知结构，初步塑造学生的数学品味.

帮助学生明确初中数学的基本问题.基本问题是 数学品味的主要表现.基本问题是指向学科核心，在 后续学习中重复出现的问题.^[6]它是学科大概念的表 现.能够吸引学生，打开学生的思维，是学习学科核心 内容所必须.能够促进学生对特定主题的深刻理解， 激发知识间的联系与迁移.如初中几何中的图形性 质.它指向几何核心，在几何学习中重复出现，是几何 大概念——变换和证明的典型表现 . 能够引起对变换 和证明的持续探究，激发学生对先拥知识和过往经验

进行有意义的联系，吸引学生从不同视角切入探究， 形成不同观点，用不同方法论证自己的观点，激励学 生对学科大概念与过往经验进行持续反思与重组，为 迁移到其他图形的探究中创造机会.激发学生对不同 图形性质的深度思考、热烈讨论，形成新的理解.基本 问题帮助学生关注数学核心，学习最具价值的知识， 选做最有价值的数学题.塑造学生的数学品味.学生 自身不易洞察基本问题，需要教师在教学时，明确揭 示基本问题，持续围绕着基本问题组织教学，帮助学 生在潜移默化中形成关于基本问题的默会知识.

教会学生初步鉴赏数学题.鉴定出好的数学题， 是数学品味的集中体现.数学教育在上百年的历史 上，积累了汗牛充栋的数学题.学生需要学会鉴赏数 学题，选择合理的数学题，训练自己的数学能力.数学 教育史上创造了很多经典的数学题.这些数学题，体 现了数学的大概念，属于基本问题，可推广和一般化， 对当时的社会具有针对性，培养了大量的数学人才. 有些数学题目，随着数学的发展与数学家认识的转 变，变得没有多少价值了，理应退出课堂.为了提高考 试区分度，一些教师以创新为名，在学科交会处命制 了一些数学题，部分新命制的数学题可能欠妥当.如 这题：

如图1，已知△ ABC的三个顶点坐标分别为A（- 4，0）、B（l，0）、C（ - 2，6）.设抛物线与y轴交于点D， 连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形 与 △ABC相似吗？

该题是几何函数知识的拼盘，牵强附会地凑在一 起.函数是研究变化关系与变化规律的，是通过变化 关系研究变化规律.核心是根据已知的自变量变化规 律和两变量间的变化关系，研究因变量的变化规律. 图像是研究函数变化规律的工具.该题在函数图像上 取几个点，构造几何图形，探讨图形形状.它不是函数 的基本问题，也不是运用几何的基本方法，更不是数 学大概念的表现，在数学史上从来没有出现过，这与 融入数学文化背道而驰.融入数学文化，就是要学着 与数学家做同样的事.数学家没有考虑过的问题，依 据专长理论^[7]，显然没有学习、练习的价值.文化选择 教育内容，数学文化选择数学内容，传承、规范、整合 数学的价值取向.教师要具有鉴赏数学题的能力，布 置给学生能够传承数学文化的典型数学题.学生每天 在做教师布置的数学题中，潜移默化地形成鉴赏数学 题的默会知识.针对教辅书中良莠不齐的数学题，教 师需要以数学大概念和初中数学的基本问题为标准， 有针对性地给学生示范如何鉴赏这些数学题，幫助学 生初步学会鉴赏数学题，加强数学品味，事半功倍地 学好数学.

参考文献：

[1] 教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[S].北京： 人民教育出版社，2018：10.

[2] J·莱夫，·温格.情景学习：合法的边缘性参与[M].工 文静，译.上海：华东师范大学出版社，2004： 2.

[3] 章建跃.研究三角形的数学思维方式[J]数学通报， 2020（4）：1-10.

[4] 教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M1].北京： 北京师范大学出版社，2012：2.

[5] 格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰格.追求理解的教学设 计（第一版）[M1].上海：华东师范大学出版社，2016：6.

[6] 格兰特·威金斯，杰伊·麦克泰格.追求理解的教学设 计（第一版）[M1].上海：华东师范大学出版社，2016：121.

[7] 胡谊.专长心理学一一解开人才及其成长的密码[M]. 上海：华东师范大学出版社，2006：74.

（董涛，福建师范大学数学与信息学院教授）

（责任编辑：万丙晟）