施工荷载下理想砂井地基弹黏塑性固结分析

刘忠玉，范智铖，朱新牧，崔鹏陆

(郑州大学 土木工程学院，河南 郑州 450001)

0 引 言

砂井排水固结法被广泛应用于处理软土地基的固结问题。1948年，Barron[1]研究了在自由应变和等应变情况下砂井地基的固结问题，发现2种假定下的固结度相差不大。因此，一些学者[2-4]基于等应变假定，给出了砂井地基固结理论的解答，但大都认为上部荷载是瞬时施加的，并没有考虑加载过程对地基固结的影响。在实际工程中，绝对瞬时加载的情况是不存在的，而都以变荷载的形式出现。研究变荷载下砂井地基的固结问题既有理论价值，也有现实意义。Basak等[5]较早考虑变荷载作用下砂井地基固结问题。随后，Lekha等[6]考虑地基变形的非线性，研究了变荷载对砂井地基固结的影响。刘加才等[7]改进了渗透面上连续条件，讨论了变荷载作用下未打穿砂井的固结问题。影响砂井地基固结的越来越多因素被学者们[8-13]考虑，如变形非线性、变渗透系数、井阻与涂抹效应、自重应力和应力历史等因素，使砂井固结理论越来越完善。在实际工程中发现，由上述理论计算得到的固结度预测值与实测值之间往往存在较大差别，究其原因应该是对土的变形特性考虑不足导致的。因为室内试验和现场观测都发现[14]，软黏土存在较明显的流变特性，但以上理论没有考虑流变特性的影响。

在对土体进行变形分析时，为了考虑饱和黏土流变的影响，先后有学者提出了元件模型[15-16]、经验模型[17]、黏弹塑性模型[18]和弹黏塑性模型[19-23]。元件模型虽然理论意义明确，但为了获得较高的精度，往往需要将弹簧、黏壶等基本元件多次组合，这样就导致微分型本构方程的阶数较高，且参数较多，计算繁琐，因而在应用上受到一定的限制。经验模型主要是通过对试验结果拟合得到的，也有较多的局限性。黏弹塑性和弹黏塑性模型都是在先进弹塑性理论上建立起来的。黏弹塑性模型将软土变形分为黏弹性变形和黏塑性变形两部分。弹黏塑性模型认为，土的弹性变形与时间无关，只有黏塑性变形与时间相关。相对而言，弹黏塑性模型应用更广泛。殷建华等[19-20]引入等效时间概念，建立了一个新的弹黏塑性(EVP)本构模型。姚仰平等[21-23]基于修正剑桥模型提出了考虑时间效应的统一硬化(UH)本构模型，该模型有明确的物理意义，参数较少，且模型参数可通过常规土工试验方便确定，已逐渐应用于一维固结分析。

为了更深入研究流变特性对砂井固结进程的影响，本文在Barron理想砂井的基础上，引入考虑时间效应的UH本构模型，拟重新推导施工荷载下理想砂井固结方程，并初步探讨相关参数对砂井地基固结性状的影响。

1 分析模型

(1)

式中：p0为所施加荷载的最大值；tc为工期；t为时间。

设在时刻t，半径为r，深度z处的有效应力和超孔压分别为σ′(r,z,t)和u(r,z,t)，并引入Barron[1]的自由应变假定，即固结过程中，竖向应变可以自由发展。由于砂井地基径向变形较小，一般可忽略不计，因此土体变形主要是竖向的[1-13]。引入考虑时间效应的UH模型[21-23]描述土体的竖向变形，即

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：Cs为回弹指数；Cc为压缩指数；Cα为次固结系数；ta为老化时间；t0为单位时间；Mf为潜在破坏应力比；M为临界状态应力比。

M,Mf表达式如下

M=6sin(φ)/[3-sin(φ)]

(6)

(7)

R-α=(ta+t0)/t0

(8)

式中：φ为土的内摩擦角；χ=M2/[12(3-M)]；α=(Cc-Cs)/Cα；R为表示超固结程度的参数。

R可表示为

(9)

假定固结过程中的渗流符合Darcy定律，且孔隙比e和渗透系数k满足Taylor[24]经验公式，即

e=e0-Cklg(k0/k)

(10)

式中：k0为孔隙比e0对应的渗透系数；Ck为渗透指数。

根据渗流连续条件，可得

(11)

Ψ=k0exp[-(1+e0)εvln(10)/Ck]/γw

β=Cα/[(1+e0)(ta+t0)ln(10)]

式中：εv为土体竖向应变。

初始和边界条件为

(12)

(13)

(14)

2 流变固结方程求解

对于式(11)所示的变系数偏微分方程，解析解很难求出。因此，本文引入隐式差分法求其数值解。时间步长取为Δt，并沿半径方向以Δr为空间步长将砂井影响区等分为N层，沿竖向以Δz为空间步长将砂井竖向等分为Z层，则式(11)可以离散为

(15)

对初始条件式(12)离散化可得

(16)

对透水边界式(13)离散化可得

(17)

(18)

同理，由砂井底部不透水边界条件可得

(19)

(20)

这样式(15)～(20)组成封闭方程组，可用迭代法求其有效应力。为研究砂井地基整体孔压u消散情况，引入按孔压定义的平均固结度Up，即

(21)

假设孔压u在区间段径向、竖向是线性的，则任意t时刻孔压ut可表示为

(22)

将式(22)代入式(21)可得

(23)

3 算法验证

4 参数分析

为便于下文探讨相关参数对砂井地基固结性状的影响，这里取H=10.0 m，N=50，Z=30，σ′=50 kPa，k=6.0×10-7m·min-1，e0=1.50，rw=0.05 m，re=1.0 m，Cc=0.5，Ck=0.8，M=0.567，Δt=0.1 min，水的重度γw=10 kN·m-3，迭代精度为1×10-7。另外，主要探讨的参数取值见表1，当讨论某一参数时，其他参数保持表1取值不变。

表1计算参数Tab.1Calculation Parameters

4.1 工期tc对固结性状的影响

为探究工期对砂井地基固结性状的影响，图3给出了不同工期对应的砂井影响区外边界z=5 m处，孔压和砂井影响区范围内固结度随时间变化的曲线。从图3(a)可以看出，在施工初期均出现了孔压升高甚至超过上覆荷载值的现象。这种现象不是单纯由于荷载不断增加引起的，因为瞬时荷载作用时这种现象最为明显。同时也不能归因于曼德尔效应，因为本文的固结方程还属于太沙基固结理论范畴。这种现象在一维弹黏塑性固结分析中也会出现[20,26]，将其归结于土体黏滞性或主次耦合机制，并认为这是由于远离排水面的土体因排水不畅而产生应力松弛导致的，该解释也同样适用于本文的砂井固结分析。把这种现象称之为“类曼德尔效应”。

另外，工期对孔压达到峰值的时间也有影响。本文算例中，瞬时加载(tc=0 min)时，考察点(1.0 m，5.0 m)处孔压达到峰值的时间为3 400 min，随着tc的延长，孔压达到峰值的时间分别为5 000，10 000，50 000，100 000 min。与瞬时加载相比，随着工期的延长，孔压达到峰值的时间延后，但均是在工期结束时孔压就达到最大值。也就是说，当tc大于5 000 min时，在加载过程中，土体黏滞性引起的孔压升高已完成，因此在施工结束的瞬间孔压也到达峰值。可以预测，当tc较小时，孔压峰值应该也会出现在施工结束后一定时间。由图3(a)可以看出，当tc=0，5 000，10 000，50 000，100 000 min时，考察点处孔压峰值分别为124.96，125.60，124.06，101.87，73.36 kPa。由此可知，当tc小于10 000 min时，随着tc的增大，孔压峰值逐渐增大。当tc大于10 000 min时，随着tc的增大，孔压峰值逐渐减小。

图3(b)给出了工期对砂井地基固结度的影响曲线。可以看出，在施工初期，固结度为负值，这说明地基中较大范围内都出现了孔压升高现象。由图3(b)可以看出，固结度最小值随着工期的延长而减小。在施工阶段及工后一定时期内，工期tc越大，固结度就越小，即tc的延长会延缓砂井地基的固结速率。因此，当工期较长时，不能将其等效为瞬时加载(恒载)的情况，否则会产生较大误差，这与文献[25]的结论相似。在施工完成很长时间后，固结度曲线基本重合，即工期的长短对固结后期的固结速率影响较小。文献[27]，[28]均讨论了变荷载对一维流变固结的影响，发现tc的增大会减缓土层的固结速率。然而在固结的后期，tc的影响很小，这与本文的结论相似。

4.2 最大荷载p0对固结性状的影响

图4(a)给出了p0对考察点(1.0 m，5.0 m)处孔压的影响曲线。与图3(a)相似，在加载初期，孔压持续上升，在某时刻达到峰值后再开始下降而逐步消散。例如，t=1×105min时，p0=50，100，200，500 kPa对应考察点处的孔压与p0的比值(归一化孔压)分别为0.652 1，0.462 8，0.314 2，0.149 6。与p0=50 kPa的归一化孔压相比，其他归一化孔压分别为0.710p0，0.482p0，0.229p0。也就是说，p0的增大能加快砂井地基的孔压消散速率。

按照传统线弹性地基的砂井固结理论，地基固结速率与上部荷载的大小没有关系。从图4(b)可以看出，本文基于弹黏塑性本构关系算得的固结速率则与上部荷载的大小密切相关。随着上部荷载的增大，在相同时刻，土体的平均固结度越大，即固结越快。这与李传勋等[28]讨论的荷载大小对固结性状的影响规律结论一致。

4.3 UH模型参数对孔压分布的影响

UH模型参数Cɑ，R0和Cs分别反映了土体的黏滞特性、地基的超固结程度、地基的回弹特性。为探讨UH模型参数对孔压的影响，本文主要研究了tc=10 000 min时次固结系数Cα、超固结参数R0和回弹指数Cs对孔压径向、竖向分布的影响。

图5～7分别给出了Cɑ，R0和Cs对孔压径向、竖向分布的影响曲线。可以看出，无论径向还是竖向，相同时刻几乎所有点对应的孔压值都是随着这些参数值的增大而增大，即增大UH模型参数会延缓孔压的消散。由图5(a)，6(a)，7(a)可以看出，r值增大即距离砂井越远，曲线之间的距离逐渐增大，即随着r值的增大，UH模型参数对孔压大小的影响就越显著。由图5(b)，6(b)，7(b)可以看出，距离排水面越远的区域孔压越大，但超过一定的距离后，孔压基本维持恒定。这说明在距地面一定的深度内渗流速度存在较大的竖向分量，当距离超出此深度以后，土中水几乎不沿竖向排出，即砂井较长时可以忽略固结过程中水沿竖向的排出。上述分析与文献[29]的结论相似。同时，这一结论也可从图8的孔压等值线看出，在距离地面较远处的孔压等值线几乎都平行于纵坐标轴，即此处竖向渗流速度很小。对比图8(a)，(b)可以看出，在同一位置处，考虑土体黏滞性时的孔压要大于未考虑黏滞性时的孔压，即不考虑土体黏滞性会高估砂井地基的固结速率。

4.4 UH模型参数对固结度的影响

为了研究次固结系数Cα对固结度的影响，图9给出了不同Cα时固结度随时间变化的曲线。可以看出，与未考虑黏滞性相比，随着次固结系数的增大，同一时刻的平均固结度都减小。文献[26]也得出了相同结论，即土体的黏滞性会延缓固结进程。例如，t=1×105min，不考虑土体的黏滞性时，固结度已达96.6%，而考虑土体的黏滞性时，对应于Cα=0.02，0.04，0.06的固结度仅分别为83.2%，61.0%，29.9%。因此，忽略砂井地基中的黏滞性，将会高估砂井地基的固结进程。

R0一定程度上反映了地基的超固结程度，当不考虑流变效应时，其倒数即为超固结比。从图10可以看出，R0越大，达到同一固结度所需时间越长。例如，当土体正常固结(R0=1.00)时，固结度达到90%需要的时间为238 800 min，当土体处于超固结状态时，R0=0.75，0.50对应的固结度达到90%需要的时间分别为209 100，172 800 min，分别为正常固结对应时间的87.6%和72.4%。也就是说，随着R0的减小(地基初始超固结程度的提高)，整体孔压消散变快，即砂井地基固结变快。

图11为回弹指数Cs对地基平均固结度的影响曲线。Cs与Cα和R0对固结度的影响规律基本一致，同一时刻Cs越大，平均固结度Up就越小。同时可以看出，相对其他参数，Cs对固结度的影响相对较小。特别是在固结后期，固结度曲线几乎重合。说明在固结后期，Cs对砂井地基的固结速率影响很小。

5 结 语

(1)在施工阶段，砂井地基内出现的孔压升高现象不仅仅是由于施工荷载不断增加造成的。土体的黏滞性或主次耦合机制也会使施工阶段及竣工初期砂井地基内出现孔压升高现象。特别是对于恒载或工期较短的工况，砂井地基较大范围内的孔压峰值甚至可以超过上覆荷载。这是造成施工初期按孔压计算的固结度出现负值的原因。

(2)考虑施工过程时，随着工期tc的延长，砂井地基内孔压达到峰值需要的时间向后推移，砂井地基的固结进程也变慢。当工期tc较长时，如果将其视为瞬时加载(恒载)的情况，将会产生较大误差。

(3)基于弹黏塑性本构关系算得的固结速率与上部荷载的大小密切相关。在相同时刻，随着上部荷载的增大，砂井地基内孔压的整体消散速率就增大，即砂井地基的固结进程加快。

(4)增大UH模型参数，砂井地基中孔压的整体消散就会变慢。如果忽略土体的黏滞性，将会高估砂井地基的固结速率。提高地基初始超固结程度将会使砂井地基固结进程变快。另外，相对UH模型中的其他参数，回弹指数Cs对孔压变化和固结度的影响最小。

(5)当砂井较长时，可以忽略固结过程中孔隙水沿竖向排出对固结进程的影响，仅以径向固结度表示其固结速率。