要求一个长方体或正方体的表面积和体积,只要知道它们的长、宽、高或棱长,就能运用表面积或体积计算公式解答。可是如果题目没有告诉我们这个长方体的长、宽、高,怎么办?请看下面的例子。
例1:右图是一个长方体纸盒的展开图,这个纸盒的表面积和体积各是多少?
思路点睛:从图中我们可以看出,这个长方体纸盒的长应该是6厘米,宽是2厘米,高是4厘米。根据这些信息,这个长方体纸盒的表面积是(6×2+6×4+2×4)×2=88(平方厘米),体积是6×2×4=48(立方厘米)。
上面的这个问题,长方体的长、宽、高都能从图上看出来。下面的这个问题,长方体的长、宽、高从题目中看不出来。
例2:一个长方体,前面和上面的面积之和是209 平方厘米,这个长方体的长、宽、高都是整厘米数,并且这三个数都是质数。这个长方体的体积是多少?
思路点睛:设长为a 厘米,宽为b 厘米,高为h 厘米,其中a>b,如右图。
从图上看出,长方体前面的面积=a×h,上面的面积是=a×b,前面和上面的面积之和是ah+ab=a(h+b)。
再根据“前面和上面的面积之和是209 平方厘米”,我们可以把209 分解质因数,即a(h+b)=209=11×19。因为11和19都是奇数,所以(h+b)的结果必为奇数;而a、b、h又都是质数,因此h和b中必有一个为质数2,否则其他质数都是奇数,奇+奇=偶,不符合上面分解的结果。
下面看看h+b是等于11,还是等于19,我们可以来试验一下。
若h+b=11=2+9,因为9不是质数,所以不合题意;
若h+b=19=2+17,均为质数,符合题意。
所以a=11,b=2,h=17,体积等于a×b×h=11×2×17=374(立方厘米)。
答:这个长方体的体积是374立方厘米。