透析欧姆表物理量的比值关系

吴琼烟 许剑伟

(莆田第十中学，福建 莆田 351146)

1 欧姆表的公式

图1

指针的偏转角θ与回路电流I成正比，所以记θ=kI，式中k为比例系数.设表笔短路时，偏转角为A，电流为I0，则有A=kI0.

再设电池电动势为E，欧姆表内阻为R0，被测电阻为Rx(图1)，欧姆表内阻上的压降为U0，易得以下方程组

得

(1)

2 欧姆表刻度盘公式

图2

因为种种原因，欧姆表使用过程中，内阻可能发生了变化，以上刻度表将与被测电阻对不上.因此必须区分刻度公式与实际电路公式.

刻度公式

(2)

实际偏转

(3)

式中A为制作刻度盘时的满偏角，M为中值刻度，x为读数；B、R0为欧姆表内部参数发生变化后的满偏角及内阻.如果欧姆表正常工作，上式中M=R0，A=B，自然就有x=Rx.

测量前要求欧姆调零，那么就有A=B，(2)(3)式就可以合并为

(4)

3 读数的含义

当欧姆表参数发生变化后，仍用旧表盘.那么读数表示什么呢？

4 欧姆表误差问题的解题技巧

从(2)-(4)式可以看出，欧姆表的物理参数较多.特别是表盘读数与实际值不一致时，若不使用这两个式子，仅使用欧姆定律来解题，解题特别“绕弯”，不容易找到物理量和读数之间的关系，造成学生得分率低.

如果列出(2)-(3)式或(4)式，相当于一次性把相关物理量全部摆在桌面上看，那么接下来的事情就比较简单了，只要在题目中找到式中的物理量，并代入计算就可得到结果.

例1.(2019年4月福建省质检题)某同学用内阻Rg=20 Ω、满偏电流Ig=5 mA的毫安表制作了一个简易欧姆表，电路如图3(甲)，电阻刻度值尚未标注.

(1) 该同学先测量图3(甲)中电源的电动势E，实验步骤如下：

① 将两表笔短接，调节R0使毫安表指针满偏；

② 将阻值为200 Ω的电阻接在两表笔之间，此时毫安表指针位置如图3(乙)所示，该示数为________mA；

③ 计算得电源的电动势E=________V.

(2) 接着，他在电流刻度为5.00 mA的位置标上0 Ω，在电流刻度为2.00 mA的位置标上________Ω，并在其他位置标上相应的电阻刻度值.

(3) 该欧姆表用久后，电池老化造成电动势减小、内阻增大，但仍能进行欧姆调零，则用其测得的电阻值__________真实值(填“大于”“等于”或“小于”).

图3

(4) 为了减小电池老化造成的误差，该同学用一电压表对原电阻刻度值进行修正.将欧姆表的两表笔短接，调节R0使指针满偏；再将电压表接在两表笔之间，此时电压表示数为1.16 V，欧姆表示数为1200 Ω，则电压表的内阻为________Ω，原电阻刻度值300 Ω应修改为________Ω.

解析：可采用(4)式解题.

(5)

第(1)小题，读数3 mA.

解法1(依题意，可优先考虑此法)：

解法2：Rx=200代入(3)式得

第(4)小题：等价于求(3)式中的Rx和R0，先把已知数据代入(3)式

小结：反复使用(4)式，处理过程明显简化，思路也更清晰.

5 读数与真值的线性关系

由(2)(3)式可得

说明电阻Rx与读数x成线性关系，可用直线的两点公式表示

此式中(x1，Rx1) 和(x2，Rx2)由实测两个已知电阻得到.如果利用表笔短路确定(x1，Rx1)，那么式中Rx1=0，可简化为

利用这一线性关系式，还可以解决不能调零时的欧姆表问题.以下列举两例分析：

例2.表笔短路时(即Rx1=0)时读数为x1=1.3，接入电阻Rx2=25 Ω时读数为x2=28.读数为x=20时，被测电阻为多少欧？

从此题看出，这种情况下，测量结果不再依赖内阻准确度，只与外接基准电阻Rx2以及刻度读数的准确度有关.

例3.某同学测电阻时，因电池旧了无法欧姆调零，表笔短路时残余读数为0.2 Ω.表盘中值刻度M=10，设此时欧姆表内阻R0=10 Ω.该同学用当前读数减去短路时的读数表示被测电阻值(相对值法)，这样可以吗？正确值是多少？

6 实际欧姆表电路

图4

那么要如何减小R0变化呢？一般是采用如图4表头电路，图中数据为上四MF500万用表参数.此电路调节电位器时，AB两端看进去的总电阻几乎保持不变.

应用哈蒙(Ham0n)量具原理有助于理解此电路：n个阻值相近的电阻，平均阻值为Ra，串联电阻值为Rs，并联电阻为Rp，则有Rs/Ra=n，Rs/Rp≈n2，Rs与Rp比值误差为二阶小量.比如，各电阻偏离Ra小于0.1%，那么比值偏离n2不到1 ppm.因此，如果保持Rs不变，那么调整各个电阻的值，不会明显引起并联电阻Rp变化.

图中，电位器调节时，串联阻值Rs=a+b+c+d保持不变，而且两支路阻值比较接近，所以调零过程中两支路的并联阻值Rp也不会发生明显改变.

设图中两支路电阻分别为R1和R2，电位器调到中点，两支路阻值均为Ra=Rs/2，继续调节，R1偏移+Δ，则R2偏移-Δ，得R1=Ra(1+Δ)，R2=Ra(1-Δ)，代入电阻并联公式得(并联阻值=两电阻之积除以两电阻之和)：

可见，调电位器引起Rp变化仅为二阶小量Δ2.

本电路中，f、p、Δ等参数为

最后，在图中AB两端并联上适当电阻，就构成不同量程的欧姆表.

综上，实际欧姆表调零电阻的调节范围很大，但总内阻几乎不变.

7 一些误解

平时做习题时，给人们一个感觉：“电池旧了，欧姆表精度变差”、“电池电动势下降了，欧姆表精度下降”，但这种感觉却与事实有些偏差.

通过上述分析得知，欧姆表精度下降的主要原因是内阻发生了变化，而不是电动势变化.对于实际万用表，电池用旧后，对低阻挡(R×1)影响较明显，因为此时电池内阻变大.不过，现在多数AA碱性电池，即使电池电压降到1.2 V(此时往往已经不能调零)，直流内阻仍与新电池基本相同，因此，关键还是在于电池及量程切换开关的质量.