也谈通法求“（A/an）+B/bn）”型结构的最小值

1 研究的源由

貴刊2019年第9期《通法求“Aan+Bbn”型结构的最小值》（文[1]）一文中，作者利用二项式定理与均值不等式，对下列5个结构一致的问题进行研究.

题目 若正数a，b满足a+b=1，求：

（1）1a+2b的最小值;（2）1a2+2b2的最小值;（3）1a3+2b3的最小值;（4）1a4+2b4的最小值;（5）1a5+2b5的最小值.

并从中得到一个结论：

结论1 若正数a，b满足a+b=1，则Aan+Bbn （A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值为（n+1A+n+1B）n+1，当且仅当Ban+1=Abn+1时取到.

在结论1的基础上，文[1]再给出型如“Aan+Bbn”结构的更一般形式（结论2）及一个变形问题：

结论2 若正数a，b满足pa+qb=d，则Aan+Bbn （p>0，q>0，d>0，A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值为1dn（pn+1A+qn+1B）n+1，当且仅当Bpan+1=Aqbn+1时取到.

变形问题 若正数a，b满足Aa+Bb=d，则pan+qbn （p>0，q>0，d>0，A>0，B>0，n≥1，n∈N*）的最小值为何？

文[1]中的上述问题与各个结论的形式优美，引起笔者的兴趣，也对此进行探究，得到一个简洁的统一证法，并发现文[1]的结论2所得的最小值有误.特意成文，与读者分享.

2 两种证法的比较

为了比较不同证法之间的差异，将文[1]中结论1的证明摘录如下：

参考文献

[1] 金霞，杜文发.通法求“Aan+Bbn”型结构的最小值[J].中学数学杂志，2019（9）：41-43.

[2] 林国红.一道“希望杯”赛题的七种解法[J].数理天地（高中版），2020（1）：26-27.

作者简介

林国红（1977—），男，广东佛山人.中学数学一级教师，大学本科学历，研究方向：数学教育.发表教学论文60余篇.