例谈数形结合法巧求三角形面积的范围

刘海珍　刘秀萍

三角形的面积问题是高考中的一类重点问题，属于解三角形问题中比较难的题型，运用常规解法有时运算量大，耗时长.下面举例说明数形结合法巧解三角形面积的范围问题.

1 知一角及其对边型

例1 （2014年全国新课标Ⅰ理16）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为.

分析 首先把2替换为a，等式的两边角化边，得到（a+b）（a-b）=（c-b）c，整理得c2+b2-a2=bc，从而根据余弦定理求得A=π3.

常規解法 根据余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，得4=b2+c2-bc，再利用重要不等式

b2+c2≥2bc，得bc≤4（当且仅当b=c时等号成立）.所以S△ABC=12bcsinA≤3.数形结合 已知一边及其对角则三角形的外接圆确定，直径为433，如图1.

由图可知在保持a=2，A=π3的情况下，A点可在优弧BC上任意移动（点B、C除外），当点A与圆心的连线与BC垂直时，三角形的高最长，面积最大，此时三角形恰好是等边三角形，所以三角形的面积最大为3.

变式 把三角形变为为锐角三角形，其它条件不变，求△ABC面积的范围.

由图2可知△ABC面积的最大值不变，当∠ACB或∠ABC等于90度时，面积取到临界值1，所以△ABC面积的范围是

（1，3].

总结 知一边及对角的三角形，其外接圆确定，这个三角形唯一的动顶点在其外接圆的相应的优弧或劣弧上运动，由此引起的很多三角形中的最值范围问题，都可以通过数形结合法解决.

2 知一角及其邻边型

例2 （2019年高考全国Ⅲ卷理数）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

asinA+C2=bsinA.

（1）求B;

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

分析 常规解法：（1）略.

（2）由题设及（1）知B=60°，△ABC的面积S△ABC=34a.

由正弦定理得a=csinAsinC=sin（120°-C）sinC=

32cosC+12sinCsinC=

32tanC+12.

由于△ABC为锐角三角形，故0°33，故12

因此，△ABC面积的取值范围是

38，32.

数形结合

如图3，由题意知点C在射线BM（B点除外）上运动.保持∠B=π3，c=1不变，因为△ABC为锐角三角形，先考虑临界的情况（即△ABC为直角三角形时）.当AC⊥BM时，△ABC的面积取到最小值的临界值为38，当AC⊥AB时，△ABC的面积取到最大值的临界值为32.所以△ABC面积的取值范围是38，32.

总结 知一角及邻边的三角形，其唯一的动顶点在角的另一条边上运动引起三角形中一些量如面积、周长等范围的改变，通过数形结合的方法这些范围问题都可以轻松的解决.

3 三角形中的综合问题

例3 在△ABC中，∠BAC=60°，点D在线段BC上，且BC=3BD，AD=2，求△ABC面积的最大值.

分析 常规解法：记角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则BD=a3，

DC=2a3.

在△ABC中，利用余弦定理，可得a2=b2+c2-bc.①

再利用cos∠ADB+cos∠ADC=0，可得a2=b22+2c2-18.②

由①②可得18=b22+2c2+bc≥3bc，即bc≤6，等号当且仅当b22=2c2即b=2c时成立，此时△ABC的面积取得最大值332.

数形结合 如图4，过点B作AC的平行线交AD

的延长线于点E.

则△BDE相似于△CDA.所以DEDA=BDCD=12.又

因为AD=2，所以DE=1，AE=3，因为∠BAC=60°，所以∠ABE=120°.

在△ABE中，知一边AE及对角∠ABE，同例1其外接圆确定，直径为23，

所以当BA=BE时，△ABE的面积最大为334.

又S△ABC=32S△ADC=6S△BDE=2S△ABE，所以

△ABC的面积的最大值为332.

变式 此题若改为求△ABC面积的范围，则常规解法难以描述清楚，若采用数形结合法，则容易看出当点B接近于点E或点A时，△ABC的面积接近于0，所以△ABC的面积的范围是0，332.

总结 有些三角形中的综合问题，可以创造条件转化为前两种基本题型.

总之，直观想象能力是数学学科六大核心素养之一，运用数形结合的方法解决问题既是解决问题的需要也是培养直观想象能力的一个重要途径，需要我们从平时的教学中深入挖掘素材，不断地探索研究.