追求“四主”的数学教学

余业兵　张晓斌　李忠如

1 从一次课堂上的尴尬谈起

事情发生在2010年，笔者在高三（高2011级）一轮复习习题讲评课上.

例题 （2009年湖北黄冈中学模拟题） 已知不等式a-2x>x-1对任意x∈0，2恒成立，则实数a的取值范围是（）.

A.（-∞，1）∪（5，+∞）B.（-∞，2）∪（5，+∞）

C.（2，5） D.（1，5）

选A选B选C选D合计

频数68人31人7人6人112人

频率60.7%27.6%6.3%5.3%100%

当时学生做的情况很糟糕，只有31人选B，正确率27.6%，很多人选了A.

讲评如下：

师：x∈[0，1）时，不等式显然恒成立，故问题等价于不等式对于x∈[1，2]恒成立.

所以有a-2x>x-1或a-2x<1-x对x∈[1，2]恒成立，即：a>3x-1或a<1+x对x∈[1，2]恒成立，

所以：a>5或a<2.（对自己讲解的答案很自信，完全没有料到好些个学生不服气，生1直接站了起来）.

生1：老师，问题是我觉得我选A没错啊.

师：你说说看（不大相信）.

生1：你不是说“f（x）>g（x）f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）”吗！

所以问题等价于a-2x>x-1或a-2x<1-x对x∈[0，2]恒成立啊！

即：a>3x-1或a<1+x对x∈[1，2]恒成立，所以a>5或a<1， 这样就该选A（对自己的解答很自信）.

师：……好像也没有什么问题啊……（心里发慌了，后悔备课时没有考虑全面，只有出绝招了）有知道的吗？（看没有人出声）留作课后思考，想到的有奖哈……

教后反思 尴尬造成的原因是“f（x）>g（x）f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）”虽是正确的，但却不一定是化简后的最终结果.比如：不等式“|x|>-x”虽等价于“x>-x或xa（a∈R）”的解集有三类：①a>0时，不等式的解集为xx>a或x<-a;②a=0时，不等式的解集为xx≠0;③a<0时，不等式的解集为R.简单地讲不等式“|x|>a（a∈R）x>a或x<-a”并进一步把它推广到 “f（x）>g（x）f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）”显然容易让学生产生混淆，归根结底还是教师自己理解不到位，讲解不到位造成的.

2 讲清楚后仍然困惑

有了这次失败的讲解后，新的一届（高2015级）讲解新课和一轮复习时我特别注意这个知识的讲解，一轮复习教学片段如下：

问题 “|x|>a（a>0）x>a或x<-a”，如果把“a>0”改为“a∈R”还等价吗？

生：是等价的，因为当a=0时，“|x|>0” 和“x>0或x<-0”都表示的是“x≠0”;当a<0时，“|x|>a”的解集是R， 而从数轴上看“x>a或x<-a”的范围也是R啊！

师：非常好，那在a<0时，它是最简形式吗？

生：不是，应该是R.

师：非常好，那不等式x-1>a的解集是{xx>1+a或x<1-a}吗？

生：不对吧，应该要分三种情况写吧.

师：很好，最终的答案必须是化简后的结果.

追问 “f（x）>g（x）”与“f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）”等价吗？

生：等價吧，因为“|x|>a”与“x>a或x<-a”对于a∈R都是等价的，这当然是等价的.

师：很好，你能解不等式1-2x>x-1吗？到黑板上把它写下来.

生：原不等式等价于1-2x>x-1或1-2x<1-x，故解集为-∞，23∪0，+∞.

例1 解下列不等式

（1）3x-1x+1;（3）x-1

讲解略.

改进后的效果：学生的作业我也布置了同样的一道题，满以为效果会很不错，正确率虽有一定提高（正确率35.6%），却还是不理想.具体如下：

教后反思 虽然这次在新课和一轮复习时都把这个知识讲清楚了，学生也在老师精心设置的问题引导下，认识到了知识的本质，但由于知识本身有一定的难度和深度，教师的启发式讲解虽层层递进、逻辑严密，却显得平淡而常规，学生的思维活动虽然到达，却不够深刻，尤其是对于“虽然等价却不是最简”的体会仅限于知道而未形成能力，更谈不上在充分掌握的基础上迁移应用了.

3 追求“四主”的数学课堂教学

毫无疑问，积极主动的学习状况下，学生的潜力更能得到充分发挥，能够更好地获得知识，具有更高的学习效率.笔者以为数学课堂应追求“四主”，即 “主动参与数学活动、主动发展高级数学思维、主动感悟数学文化、主动积累数学思考的经验”.这样的数学教学需要教师通过巧设合理的数学情景，激发学生自觉地参与到数学活动中，积极思考、主动感悟、有效积累，高效地获取数学知识.既然如此，如何激发就成为了教学成功与否的关键.笔者在反思的基础上，基于如何激发学生“四主”的前提下，对前面文中的教学重新设计，取得了不错的教学效果，现将教学过程记录如下（高2018级）：

案例 一个绝对值不等式的推广

环节1 设置巧合，激发学生主动探究

师：上堂课我们学习了绝对值不等式的解法，谁能告诉我下列不等式的解集吗？

（1）|3x-1|<-1;（2）|-2x|>1;（3）|x-1|<0;（4）|2x|>-2.

问题1 不等式|x|>a和|x|

生：“|x|>a”的解集有三类：①a>0时，不等式的解集为{xx>a或x<-a};②a=0时，不等式的解集为{xx≠0};③a<0时，不等式的解集为R，同样，“|x|

师：这样在a>0时就有以下两个等价式子：

（1）|x|>a（a>0）x>a或x<-a;（2）|x|0）-a

学生纷纷点头，表示赞同.

追问1 解不等式3x-1>1-x，并把解答过程写在草稿纸上.

（教师巡视，寻找到产生巧合的解答后利用希沃助手在一体机上进行展示）

解答1 略.（分x>1、x<1、x=1三种情况讨论得解集为{x|x>12或x<0}）

解答2 略.（分x≥13、x<13两种情况讨论得

解集为{x|x>12或x<0}）

解答3 不等式等价于3x-1>1-x或3x-112，

所以解集{x|x>12或x<0}.

师：这三种解答答案，它们的过程都是对的吗？

生1：解答1、2都沒问题，3错了.

师：为什么呢？

生1：不是“|x|>a（a>0）x>a或x<-a”需要a>0吗？

师：也就是解答3是认为“|x|>a（a∈R）x>a或x<-a”算出了同样的答案，难道只是巧合……

生1：不会可以推广吧？

师：要不咱们再来算一个2x-1>2-x，1～5组用解答1的方法，6～9组用解答3的方法.

生：答案一样啊，应该是必然.（很惊喜自己的发现）

师：有谁可以告诉我为啥吗？

生2： a=0时，|x|>a是{xx≠0}，x>a或x<-a也是{xx≠0}啊; a<0时，等价符号两边也都是R.

师：你的发现很有价值，“|x|>a（a∈R）x>a或x<-a”仍然是成立的，解答三也是正确的，也就是 “f（x）>g（x）”与“f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）”是等价的，这为我们解决这样的不等式带来了方便.

设计意图 在复习已有知识的基础上，在学生对知识的记忆还不是很到位时，利用学生未正确使用所学知识解不等式“3x-1>1-x”时产生答案上的巧合，制造悬疑“巧合还是必然”，使知识呈现出明显的悬而未决的状态，瞬间激起了学生探究的欲望，从而达到促使学生主动参与、主动思考的目的，使得等价不等式被学生轻松地予以推广.

环节2 制造矛盾，激发学生主动深入

例2 解下列不等式

（1）3x-1x+1;（3）x-1>a2-a.

对于（3），部分学生会因为利用推广轻松解答（1）（2）产生的思维惯性而犯错，而部分学生因为对推广前的分类讨论很熟练而得到正确的答案，教师即时将两种解答展示在希沃一体机上.

解答1 由于x-1>a2-ax-1>a2-a或x-1

所以原不等式的解集是x∈（a2-a+1，+∞）∪（-∞，a-a2+1）.

解答2 按a2-a与0的关系分三种情况讨论，结果如下：

①a>1或a<0时，不等式的解集是x∈（a2-a+1，+∞）∪（-∞，a-a2+1）;②a=0或a=1时，不等式的解集为

{xx≠1};③0

师：这是什么状况（故作神秘状），刚才不是说用两种方法解3x-1>1-x都可以吗？这儿为啥答案会不一样呢？“|x|>a（a∈R）x>a或x<-a”不是正确的吗？

生：我知道了，解答1结果不是最简的！比如当0a2-a+1或x

师：一般地讲呢？对于“|x|>a（a∈R）x>a或x<-a”你有什么看法

生：是等价的，但不是最简的.“x>a或x<-a”化简后应该分三种情况：①a>0时，不等式的解集为{xx>a或x<-a};②a=0时，不等式的解集为{xx≠0};③a<0时，不等式的解集为R.

师：他道出了使用这个等价条件需要特别小心的地方，一定要检验是不是最简的.

设计意图 在学生充分体会利用推广后的等价条件带来便利的同时，思维的惯性与定势也就在学生脑海里产生了，不同思维层次的学生在解不等式（3）时也就产生了完全不同的答案，这样，学生的现有认知和即时情境的结果就产生了不一致，在其心理上就会产生认知冲突，就会产生一种急切地想要知道结果的强烈欲望，从而有效激发学生的主动深入思考，使其主动探究得到 “虽等价却不是最简”这一高级知识成果也就顺理成章了.

环节3 错解展示，激发学生主动巩固

例3 已知不等式m-3x<2x-4对任意x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围.

选一个错解展示在希沃一体机上，如下：

解 m-3x<2x-44-2x

所以（4+x）max

师：这位同学的解答正确吗？

生1：不对，这儿有隐含条件x∈（2，3]，所以m=6.

师：我感觉他使用的等价条件没有错啊，算出的答案应该对呀！

生2：我知道了，“4+x

①当4+x<5x-4即x>2时，有（4+x）max

②当4+x≥5x-4即x≤2时，不等式不成立，m∈.

综上所述：m=6.

设计意图 教师利用了学生初学时“虽知道却不能灵活应用”的特点，设置一个易错题目，题目的隐藏条件使得“答案的错误”很容易被发现，从而有效激发学生主动探究“知识运用的错误”，既巩固了所学知识，又发展了学生的高级数学思维，使学生对知识的认识更加深刻.

环节4 设问顺化，激发学生主动积累

問题 “|x|>a（a∈R）”与“x>a或x<-a”等价吗？ “|x|>a（a∈R）”的解集是“{xx>a或x<-a}”吗？

生1：“|x|>a（a∈R）”与“x>a或x<-a”是等价的，但不等式“|x|>a（a∈R）”的解集却不一定是“{xx>a或x<-a}”，因为它不是最简的形式，应该分三种情况：（略）.

设计意图 通过两个隐含“知识发现过程”的问题引起学生主动回顾，既是对新知识的巩固，也是对旧知识更为深刻的反思与认识，从而达到“新知纳入旧知”后的顺化，使得学生在回味精彩发现过程的同时，思考和探究的经验在其头脑中也就深深地扎根了.

“四主”教学后的效果：学生的作业我也布置了同样的一道题，虽然还是有部分学生选了A，正确率却明显提高（正确率78.9%）.教学取得前所未有的成功.具体如下：

3 对 “四主”数学教学的思考

前面所述的教学实践表明，教学的效果跟学生学习的方式有很大的相关性.如果学生的学习是被动接受式的，学生获取知识的效率是相对较低的，学生思考的深度是相对不够的，思维得到的锻炼是相对有限的，数学活动经验的借鉴性是不大的.这就要求我们转变教学观念，追求“四主”，通过精心的教学设计，化学生的被动参与为主动参与、被动思考为主动思考、被动感悟为主动感悟、被动积累为主动积累，提高学生学习的效率，发展高级数学思维与感悟数学文化，帮助学生获取高质量的数学知识.

学生是否达到“四主”的关键在于如何激发学生参与思考的兴趣，激发的关键在于设置怎样的教学情境，以此来获取学生对数学活动积极的意识倾向与情绪反应.就笔者看来，大家不妨从以下四个方面进行思考：一是可以通过实物展示、生活再现、表演体会、语言描述、音乐渲染等多种方式设置合理的数学知识情境;二是可以融入蕴含丰富的数学文化;三是设置悬疑，通过突出不同寻常的数学问题情境并延缓披露底细，使其呈现明显的悬而未决的状态;四是借助数学知识内部规律制造矛盾冲突，包括原有知识不能解释的一些新现象、原有性质定理在更宽泛的范围内不总是成立、学生知识结构中的盲点或易错点带来对同一问题结果的不一致等.当然影响学生“四主”的因素有很多，学生即时的情绪与思维活动也相当复杂，要想做到更好，唯有不断地学习、实践与反思.追求“四主”的数学教学实践永远在路上.

参考文献

[1] 章建跃，陈建兰.数学教学之取势、明道、优术[J].数学通报，2014，54（02）：1-3.

[2] 程华.数学课堂思维教学若干问题的思考[J].数学通报，2018，57（03）：26-29.

[3] 方飞.顺应学生的心理特征，培养学生学习兴趣[M].北京：基础教育理论研究成果荟萃，505.

作者简介

余业兵（1979— ），男，重庆北碚人，中学数学高级教师，西南大学附属中学高中数学教研组长，西南大学卓越中学教师培养计划师元班硕士研究生校外实践导师，重庆市高中数学市级骨干教师，主要从事高中数学教学研究和解题研究，多篇论文发表.