分类例说，突破一次函数应用问题的“重围”

文张田田

专题复习：函数

领 衔 人：何君青

组稿团队：江苏省初中数学反思型教学课题组

一、同一个坐标系里只有一个分段一次函数

这类问题一般有三问：第一问识别图像，例如解释折点处的基本信息等；第二问用待定系数法确定一次函数的表达式；第三问用一次函数解决简单实际问题。同学们需观察一次函数图像，细致分析题意，能将一次函数的知识与建立方程模型相结合。

例1 图1 中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120）。已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km。

（1）当速度为50km/h、100km/h 时，该汽车的耗油量分别为 L/km、 L/km。

（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式。

（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？

【分析】此题以耗油量问题为背景，以一次函数的图像为载体，分析某汽车的耗油量y与速度x之间的函数关系，考查识图、用图的能力。题中自变量不同取值范围所对应的函数表达式不同，其函数图像是一个折线。解决分段函数问题，要与自变量所在取值范围对应，大家要会用待定系数法求一次函数表达式，且用好“折点处”的坐标。

解：（1）0.13，0.14。

（2）设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b。

因为y=kx+b的图像过点（30，0.15）与（60，0.12），所以

解方程组，得

所以线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y=-0.001x+0.18。

（3）根据题意，得线段BC所表示的y与x之间的函数表达式为y=0.12+0.002（x-90）=0.002x-0.06。

由图像可知，B是折线ABC的最低点。

【点评】此类题型通过函数图像及一定的文字说明作为载体来传递解题信息，为问题提供条件。解决这类问题的关键是善于从图像的位置、特殊点及发展变化趋势等相关信息中受到启发，并获取有用的信息，获得解决问题的途径，进行推理计算，最终解决问题。此类问题的切入口往往是对折点的解读，所以要重视折点及折点前后的状态。

二、同一个坐标系里有两个一次函数

在同一个坐标系中，同一自变量有两个不同的因变量，表示不同的一次函数，这对解题造成干扰，更考查大家对图像的理解以及综合分析解决问题能力。下面以一个行程问题为背景，与同学们交流。

例2 甲、乙两地相距400 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地。如图2，线段OA表示货车离甲地的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系。根据图像解答下列问题：

（1）求线段CD对应的函数表达式。

（2）求E点的坐标，并解释E点的实际意义。

（3）若已知轿车比货车晚出发20 分钟，且到达乙地后在原地等待货车，则当x为多少小时，货车和轿车相距30km？

【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用。（1）求线段对应的函数表达式是常规考法，方法有两种，一种是根据实际意义直接列出，另一种是读取图中数据，借助待定系数法求出表达式；（2）求E点的坐标仍有两种方法，一种是联立线段OA、CD的表达式求解，另一种是列一元一次方程求解追及时间（即点E的横坐标），再代入线段CD对应的函数表达式求点E的纵坐标；（3）由“货车和轿车相距30km”可求得多解。

解：（1）线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y=120x-140（2≤x≤4.5）。

（2）点E坐标为（3.5，280），点E的实际意义是当货车行驶3.5 小时，轿车追上货车，这时它们离甲地距离为280千米。

【点评】解决此类问题的一般方法是解读折点、分段图像的实际意义，结合实际行程问题，运用分类思想，正确地找出某个状态下的速度、时间、路程，然后转化成代数模型来解决。