问题驱动视角下高中数学“问题串”的设计实践

梁思聪

【摘要】课堂教学主要围绕问题驱动， 在不断的提出问题、分析问题、解决问题过程中展开，这样才能使课堂教学更有效。提升数学课堂教学的效能在于根据学生的“最近发展区”设计出系列问题，即“问题串”，来帮助学生一步一步完成学习目标。本文结合自身的教学实践谈谈“问题串”的设计，并给出实例说明如何利用不同类型的“问题串”来引导学生掌握解决问题的方法，提高课堂效率。

【关键词】問题驱动;“问题串”设计; 实践反思

“问题串”指在学习过程中根据目标，按照课堂学习任务设计的一组问题。从课堂提问、概念生成、新知应用、解题方法的掌握，以及应用能力的提升，都从“问题”开始。有效的“问题串”能培养学生积极思维，建立课堂教学框架，提高课堂教学实效。

一、“并列式问题串”——以小见大，明晰概念

“并列式问题串”是在已知条件不变的情况下，得出不同形式的结论，加深数学概念的理解，认识概念丰富内涵，在高中数学新授课中较常见。通过问题的层层推进，形成学生认知冲突，培养他们积极思维。

视角一：《函数单调性》的概念课教学中，如何用代数方法证明函数y=2x+1在R上为单调递增函数？为了让高一新生理解单调函数的抽象定义，掌握作差法的数学思想，笔者设计了下面的问题。

问题1：如果对于R上的某一个x1、x2（x1>x2），有f（x1）>f（x2），则函数f（x）在R上单调递增。这个说法对吗？请举例或者画图说明。

问题2：设函数R上有无数个自变量，使得（x1

问题3：在函数f（x）=2x+1，x∈R的图象上任意取两点，自变量大的函数值也一定大，能否说明函数f（x）=2x+1在R上单调递增？

问题1对定义辨析，呈现单调函数概念的本质，让学生获得必须是两个变化的量的比较。问题2是对定义中“无数”的理解不当。问题3在前两个问题的处理之后提出一个具体函数模型，比较函数值，提出用数学符号解决数学问题。高中数学中有许多逻辑抽象的概念，我们可以通过“问题串”的设计，让学生深入理解概念的本质。

二、“渐进式问题串”——层层深入，拓宽思路

“渐进式问题串”引导学生去发现问题间的关联，把一些特殊的结论一般化。在高中数学教材中，数学定理、公式的学习是常见的内容，它们都有独自的符号结论。学生往往在探索知识关联时，会遇到思维受阻的情况，教师要帮助学生搭建思维的阶梯，重现知识的生成过程。

视角二：人教A版《数学2》（必修）“直线的点斜式方程”教学片断，笔者设置层层递进的问题串，引导学生思考、讨论、归纳，建立直线的点斜式方程。

问题1：在直角坐标系内确定一条直线，应具备哪些条件？

问题2：直线L经过点P0（x0，y0），且斜率为k，设点是直线L上任意一点，请建立x，y与k，x0，y0之间的关系。

问题3：坐标满足方程y-y0=k（x-x0）的点都过点P0（x0，y0），斜率为k的直线L上吗？

问题4：x轴、y轴所在直线的方程是什么？经过点P0（x0，y0）且平行于x轴的直线方程是什么？

问题5：斜率k的几何意义是什么？

问题6：初中学习的一次函数y=k（x-x0）+y0在直线的方程中该如何理解？

问题7：直线L经过点P0（-2，4）且倾斜角为45。，求直线L的点斜式方程。

在教学中，教师设置了以发生、发展、形成的方式学习概念的环节，以“问题串”的形式循序渐进地引导学生进行探究，实现了有具体到抽象的深化。通过搭建的7个问题，由浅入深，步步相扣，让学生处于“跳一下就摘到了桃子”的学习状态，达到“道而弗牵”的境界。

三、“迂回式问题串”——化难为简，突破难点

“迂回式问题串”通过关联问题间互相切换，交叉指引，从不同方向进行延伸。“迂回式问题串”培养学生的发散思维，促进创造性思维形成的核心所在。在教学中，合理利用好“迂回式问题串”，诱发学生多向思考，让学生从认知差异中获得新知，提升了学生的数学素养。

视角三：人教A版《数学2-1》（选修）“双曲线的几何性质”第60页例6的教学片断。笔者在教学中，“问题串”的呈现体现在一题多变的设计，把问题充分延伸，得出更多相关性的新问题，从而活跃学生思维，拓宽学生思路，充分发挥教材例题的功效。

【例题】如图，过双曲线                    的右焦点，倾斜角为30。的直线交双曲线于A、B两点，求。

问题1：如果直线y=kx-1与双曲线                    没有公共点，求k的取值范围。

问题2：如果直线y=kx-1与双曲线                    有两个公共点，求k的取值范围。

问题3：如果直线y=kx-1与双曲线                    只有一个公共点，求k的取值范围。

问题4：如果直线y=kx-1与双曲线                    的右支有两个公共点，求k的取值范围。

问题5：如果直线y=kx-1与双曲线                    的左支有两个公共点，求k的取值范围。

问题6：如果直线y=kx-1与双曲线                    的两支各有一个公共点，求k的取值范围。

本例题的“问题串”设计，以教材中最基础的模型为出发点，通过改变已知条件，设计不同情景下的“问题串”，从而引出了六种不同解决方案在同一个模型“迂回”，体现在数形结合的数学思想下解题方法的灵活应用。通过“迂回式问题串”的训练，对某一孤立例题发展成具有数学规律的系列问题，学生能对所学知识举一反三，提高课堂教学的效率。

四、“变换式问题串”——触类旁通，揭示规律

在教学中，有时为了让学生掌握难度或灵活性较大的性质规律，于是就分解一系列的简单问题作为铺垫，這些问题为最终结论提供中间结果或解题依据，起到过渡作用。这些问题彼此转化，互相关联，解决问题过程中不断向最终目标靠近。这种“问题串”设计实践在课堂教学中是一个美妙的桥段。

视角四：在《直线与圆锥曲线位置关系》的教学中，我们会使用到 “    或    或e2-1”结论进行解题。教学中，此类问题学生解题有难度，难以找到切入口。我们可以通过设计“问题串”，形变而神不变地变换问题，使学生更容易看清问题的规律。

【例题】椭圆的方程为                  （a>b>0），过原点的直线交椭圆于A，B两点，P点是椭圆上异于A，B两点的任一点，求证：KPA，KPB 为定值。此类圆锥曲线的定值问题，解题难度大，入手较难。通过“问题串”的分解，再利用构造三角形中位线和平行直线斜率相等等知识点在解题中切换，这样处理学生能触类旁通，培养数学的解题能力。具体教学片段如下，把例题分解为四个问题：

问题一：过椭圆                     内有一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线方程。（ 先引导学生利用“点差法”求出直线方程，再让学生观察斜率k与a2、b2的关系，再类比圆的垂径定理的得出二次有心曲线的性质：AB是椭圆                   的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则KOAKAB=           ）

问题二：椭圆的方程为                （a>b>0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则      ·

=______________

问题三：椭圆的方程为               （a>b>0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则      ·

=______________

问题四：椭圆的方程为                  （a>b>0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则KPA·KPB=______________（问题串的层层相扣，最终回归圆锥曲线定值的本身）

通过“变换式问题串”，由浅入深地启发学生思考，不断地组织探究活动。在这个学习过程中会产生许多有价值的生成性资源，有利于学生创新精神的培养，从而让学生窥视出问题规律。

所以，设计具有价值的“问题串”是课堂教学的“骨髓精华”，有效“问题串”的运用能提高学生思维活动的深度和广度，拓展师生的发展空间。只要我们加强研究和实践，就一定会把数学课堂打造更高效，使我们的课堂永远充满生机。