二元一次方程和一次函数

洪华生

教学目标：

1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系;

2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系;

3.掌握二元一次方程组的图像解法.

教学重点与难点：

重点：掌握二元一次方程和一次函数的关系以及二元一次方程组和对应的两条直线的关系.

难点：数形结合和数学转化的思想意识.

课前准备：三角板、多媒体投影;铅笔、直尺、练习本、坐标纸.

教学过程：

一、情境导入

回顾所学内容，引入争论。

这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数（形）的关系.师板书课题：5.6二元一次方程和一次函数.

【处理方式】多媒体展示.

【設计意图】由旧知自然引入新课.

二、自主交流、合作探究

【合作探究一】探究一次函数与二元一次方程的关系：

【问题情境】y=-x+5这是什么？

师归纳：任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.

【呈现问题】

（1）方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个.

（2）在直角坐标系中描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？

（3）在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？

（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？

（5）方程x+y=5与函数y=5-x有何关系？

【处理方式】学生分小组进行讨论，小组之间交流，教师巡视、指导学生，等学生完成后，请各小组学生分别独立作答.

【设计意图】通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.

【知识提炼】以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.反过来，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.即：

【合作探究二】做一做：

【呈现问题】探究一次函数与二元一次方程组的关系：

（1）把下列二元一次方程改写成形如y=kx+b的一次函数的形式.已知x+y=5，改写为y=_____.已知2x-y=1，改写为y=______.

（2）在同一坐标系内作出这两个函数的图象..

（3）观察图象，指出它们的交点坐标.

（4）解方程组：

（5）观察这个方程组的解与这两个函数图象的交点坐标之间有何关系？

（6）根据以上过程，你有什么发现？

【知识提炼】每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.

【小试身手】

1.一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为（2，3），则方程组的解为         .

2.若二元一次方程组的解为则函数与的图象的交点坐标为

【处理方式】让学生自己做题.教师巡视，适时点拨.学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正.

【设计意图】通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程）与“形”（两条直线）之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础;由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力.

三、实际应用，升华新知

3.想一想：在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的圖像有怎样的位置关系？方程组解的情况如何？你发现了什么？

【处理方式】让学生自己观察讨论回答. 老师适时补充完整.

【设计意图】设计本例让学生体会一次函数和对应方程之间的关系.发现：一次函数的图象平行对应的二元一次方程组无解.一次函数的图象相交对应的二元一次方程组有一个解.

4、学以致用

四、诱导反思，归纳总结

通过本节课的学习：你们有哪些收获呢？

【处理方式】学生归纳总结，教师补充升华.

【设计意图】旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力;使学生进一步明确学什么，学了有什么用.充分展示知识的发生、发展及应用过程.对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励.

五、达标测试，反馈矫正

1.二元一次方程y+x=8可以转化为y=

2、一次函数y=3x-5与y=2x+b图像交点为P（1，-2），试确定方程组的解和b的值.

3、若一次函数y=-x+a和y=x+b的图象交点为 （m，8），则a+b=       .

答案：1.-x+8    2.3.16   4.1，2     5.-，9.

【处理方式】学生先做，老师矫正.

【设计意图】通过检测纠错，提高认识知识的效率，使学生能运用所学知识和技能解决问题，进一步加深对本课知识的理解，及时检测学生对本节知识的掌握情况，同时也为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性，巩固所学的知识.

六、布置作业，落实目标

必做题：习题5.6  第2、3题.

选做题：习题5.6  第4题.

【设计意图】对本节的认知技能进行分层训练.以满足学生多样化的学习需要，让“不同的人在数学上得到不同的发展”.