问题导学，助力学生思维生长

黄秀旺

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”苏联心理学家马丘斯金认为，问题是思维的起点，问题的解决过程也就是创造性思维的产生过程。因此，在数学课堂上，教师只有用问题激发学生思考，引导他们进行自主学习，才能让学生在获取知识与技能的同时发展思维能力，从而实现数学教育的日的。“基于初中生思维力生长的问题导学式课堂”就是要通过问题驱动，展示数学思维过程，为学生的思维力生长创造必要条件。那么，该如何结合教学内容，设置有利于学生思维生长的问题呢？

一、关注知识点，基于整体设计问题

课标指出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点与‘延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性……”据此，我们在实际教学中，尝试把每一节课的教学内容都置于整体知识的体系下设计问题，通过问题引导、问题分析、问题解决等环节，帮助学生建构新知识，掌握新方法。在一系列问题的引领下，学生的思维的深刻性、广阔性、灵活性可得到明显提升。

案例1 “分式的乘方”问题设计。

“分式的乘方”为人教版数学教材八（上）第15章第2节“分式的运算”第2课时的教学内容。在传统教学中，教师通常带领学生先复习分式的乘除运算法则，然后从例4导入第2课时的学习;接下来，通过带领学生思考如何探索分式的乘方，过渡到例5。这样的教学过程不免出现了以训练为主的现象，学生的思维没有得到很好的拓展。实际上，如果我们将“分式的乘方”置于“数与式的运算”的知识体系中来思考，就会产生许多疑问：为什么本节课要学习这些内容？如何研究“分式的乘方”？之前学习过类似的方法吗？许多教师没有思考过这些问题，只是根据教材按部就班地进行教学。而正是因为没有进行思考，才使得我们在课堂上看不到学生的“真正学习”。学生不知道数学家是如何探究数学知识的，就不会产生思辨的兴趣并进行积极探索。而当我们将“分式的乘方”置于“数与式的运算”的知识体系中思考时，以上疑问就会迎刃而解。学习有理数运算，我们会依次经历有理数的加减法、乘除法、乘方与开方，代数式的运算也是如此。以此类推，分式运算的学习也应是从加减、乘除，再到乘方。探究“分式的乘方”，既可以从具体的例子归纳出一般性的结论，也可以进行类比分析。在学习过程中，学生完全可以运用已经积累的经验，进行自主探究。

基于以上分析，笔者给出的“分式的乘方”的问题设计如下：

环节1：提出问题。

问题1：我们已经学习了分式的乘除运算，接下来，大家认为该学习什么运算？

环节2：探究分式乘方的法则。

问题2：怎么研究分式的乘方运算？

追问1：分式的乘方是一个什么样的形式？不妨写一写。

追问2：写出探究分式乘方运算法则的过程，并说说你是如何想到的。

环节3：分式的乘除、乘方的运用。

问题3：至此，我们学习了分式的乘除法和分式的乘方。按照运算的级数划分，它们有哪些情形？请举例说明。

环节4：课堂小结。

问题4：通过本节课的学习，大家有哪些收获？

以上问题设计，力求将“分式的乘方”置于分式运算，乃至“数式运用”的整体知识体系中，以便于学生进行知识点的自然勾连，从而实现思维的延展。在许多课堂上，教师总是抱怨学生不能积极思考和主动参与，造成课堂气氛压抑。其实，教师有没有设计出精彩的问题，才是课堂气氛活跃与否的关键。

二、前后一致，基于过程设计问题

章建跃老师认为：“教学中，要以数学地认识问题和解决问题为核心任务，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考。”因此，在进行问题设计时，我们也要注意坚持前后一致、逻辑连贯的理念。

案例2 “立方根”问题设计。

“立方根”为人教版数学教材七（下）第6章“实数”第2节的教学内容。学生在第1节课学习了“平方根”，经历了提出问题、研究问题、获得结论的全过程。如果教师在教学“立方根”时，不考虑让学生进一步巩同、提升前面掌握的学习方法，那就丧失了一次让学生的思维生长的好机会。因此，要想让学生在学习“立方根”时，体验前后一致、一以贯之的学习过程，教师不妨思考以下问题：（1）研究“平方根”时，我们是如何提出问题的？研究“立方根”时，也可以这样提问题吗？（2）“平方根”的教学方式属于哪种类型？“立方根”的教学方式可以和“平方根”的一样吗？（3）给“平方根”下定义后，“平方根”的符号表示是何时提出的？对于许多数学概念，我们下定义后就可以给出符号表示，而“平方根”却不是这样，为什么？“立方根”相应的情况又是怎样的？（4）我是如何让学生掌握“平方根”的特征及性质的？“立方根”的特征及性质的教學，我是不是也可以这样处理呢？解答了以上问题，其实就解答了“平方根”这一数学概念的发生、发展过程，以及学生理解“平方根”的心理过程。而教师在教学“立方根”时，也可以参照以上问题进行教学设计：

环节1：问题情境。

问题1：要制作一个容积为27m3的正方体形状的包装箱，包装箱的棱长应该是多少？

追问1：你打算怎样解决这个实际问题？请简要说出过程。

追问2：你是怎么想出来的？

追问3：有没有其他解法？

环节2：探究活动。

问题2：请回顾学习平方根的过程，思考以下问题：（1）平方根的学习是基于一个什么现实问题而提出的？它又引出了哪一个数学问题？（2）平方根的学习包含哪些内容？建议画图表示。（3）刚刚提出的问题，实际上就是研究当x3=a时，x是什么数。你打算如何展开研究？

请结合下图，画出研究路线图。

问题3：（1）什么叫作a的立方根？用式子如何描述a的立方根？（2）什么叫开立方？它与立方有何关系？请举例说明。

追问1：定义a的立方根的合理性。

追问2：a的立方根为什么不像a的平方根（当a为正数时）一样，在根号前面加上±号（表示为±3√a）呢？

问题4：你能求出下列各数的立方根吗？8，27，0.125，0.08，0，-1，-125，-8，-8/27。

追問1：你发现了什么？

追问2：你能说出数的平方根与数的立方根有什么不同吗？

问题5：

追问1：你发现了什么？能用一个式子来表示其中的规律吗？

问题6：请你结合立方根的学习路线图，回顾整个探索过程及每一个探索环节，说出成功与不足之处。

问题7：说出探索平方根与立方根的过程中的异同点。

以上问题引领学生经历概念学习的基本过程：举例子（给情境）一建规则一下定义一再运用。实际教学效果反映，体现前后一致、一以贯之的学习过程的问题设计，可以提升学生的思维探究能力及学科核心素养。

三、寻求联系，基于类比设计问题

数学课程的总日标是让学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。因此，在进行问题导学时，我们也要注意寻求知识点之问的联系，基于类比思维来设计问题。

案例3“一元一次不等式组”问题设计。

“一元一次不等式组”为苏科版数学教材七（下）第11章“一元一次不等式”第6节的教学内容。“方程组”与“不等式组”是不同的知识，但是上升到“数量关系”层面后，它们会有许多相似之处。比如，“一元一次方程”和“一元一次不等式”的定义、解，“二元一次方程组”和“二元一次不等式组”的解，都有类似之处。因此，本节课就可以通过寻求“方程（绢）”与“不等式（组）”之问的联系来设计问题，引导学生运用联想、类比、对比等数学思维方式，自主建构新知。具体设计如下：

环节1：问题导学。

问题1：一个长方形的周长为16cm，长比宽多2cm。设长、宽分别为xcm、ycm，试列出二元一次方程组表示这个长方形的长与宽之间的数量关系。

追问1：基于以上信息，你将提出哪些问题，又将如何解决？

追问2：你建立方程或方程组的根据是什么？

问题2：二元一次方程x-y=2的解有多少个？二元一次方程2x+2y=16的解有多少个？二元一次方程组x-y=2，2x+2y=16的解有多少个？是如何确定的？

环节2：探索活动。

活动1：构建一元一次不等式组的概念。

问题：小丽早晨7时30分骑自行车上学，要在7时50分至7时55分之间到达离家3400m的学校。小丽骑自行车的速度应在什么范围内？

追问1：问题中包含的数量关系是什么？

追问2：如果设小丽骑自行车的速度为xm/min，那么，如何表示以上数量关系呢？

追问3：问题中的未知数x应该满足什么条件？

活动2：解不等式组。

问题：类比二元一次方程组的求解过程，请你思考，如何确定使一元一次不等式组20x≤3400，25x≥3400中两个一次不等式都成立的未知数x的值。

问题1是“从问题到方程（组）”的问题设计，问题2是“确定二元一次方程组的解”的问题设计。案例3告诉我们，学习不等式，可以寻求它与方程的联系。以此类推，学习任何知识点，教师都可以引导学生寻求相应的联系，从而培养前后贯通、举一反三的思维方式。

总之，“基于初中生思维力生长的问题导学式课堂”的核心是问题。在教师精心设计的问题的引导下，在解决问题的过程中，学生获得了知识与技能，发展了数学思维能力，提高了学科核心素养。

（作者单位：江苏省南京市江宁区教学研究室）