向量参数方程与杠杆原理的平面几何应用研究

摘要：阐述了向量参数方程的基本内涵和杠杆原理的数学含义，分析了向量参数方程和杠杆原理在高中数学平面几何教学中的应用案例，比较了应用向量参数方程和杠杆原理解决相同平面几何问题的运算结果，提出了杠杆原理在高中平面几何教学中的应用建议。

关键词：高中数学;向量参数方程;杠杆原理;平面几何;应用研究

中图分类号：G633.6           文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）08-081-1

随着近代数学和物理学的快速发展，数学学科与物理学科的联系更加紧密，很多数学问题都可以运用物理学的原理得以解决。笔者通过采取比较分析的研究方法，对比了向量参数方程和杠杆原理解决相同高中数学平面几何问题，其运算结果高度一致。

一、向量参数方程的基本内涵

平面向量是指在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。其基本定理为：如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a=a1e1+a2e2。

以平面向量基本定理为依据，有如下引理：已知A，B是直线L上任意两点，O是L外一点，则对直线L上任意一点P，存在实数t，使关于基底{OA，OB}的分解式为=（1-t）OA+t OB. ①，其中AP=t AB.并且满足①式的点P一定在L上。由此，对直线L上任意一点P，一定存在唯一的实数t满足向量等式①;反之，对每一个实数t，在直线L上都有唯一的一个点P与之对应。向量等式①叫做直线L的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数。

二、杠杆原理的数学含义

在“重心”理论的基础上，阿基米德发现了杠杆原理，即“二重物平衡时，它们离支点的距离与重量成反比，计算公式为：动力×动力臂=阻力×阻力臂，即F1×L1=F2×L2。

杠杆原理用数学语言可以这样描述：一条线段的点（支点）到两端点的距离之比等于这条线段的两个端点的受力之反比，即L1L2=F2F1;支点所承受的力等于两端点受力之和，即Fo=F1+F2。

三、应用分析

应用向量参数方程和杠杆原理解决高中数学相同平面几何问题。

例1：如图，AF：FC=1：x，BD：DC=1：y，求AE：AD的值。

1.应用向量参数方程求解

设AB=a，AC=b.

由引理得AD= （1-t）a+t b①，其中BD=t BC，所以t=11+y，代入①式，有AD=y1+ya+11+yb，那么AE=λ AD=λy1+ya+11+yb，另一方面，同理得AE=（1-s）a+ s AF= （1-s）a+s1+xb，这样由平面向量基本定理有

2.应用杠杆原理求解

以D为支点，BC为杠杆，设B处挂有1kg物体，由杠杆原理mBBD=mcDC，得mC=1/y kg，mD=mE+mC=（1+1/y） kg。同理由mAAF=mCFC，得mA=x/y kg，mAAE= mDED，得AE：ED=（1+y）/x，从而AE：AD=（1+y）/（1+y+x）。同样也可以求出BE：BF的值。

例2：如上图，BD：DC=4：1，AF：FC=2：5，求AE：ED的值。

1.应用向量参数方程求解

运用上述结论，由已知得BD：DC=1：1/4 ，AF：FC=1：5/2，其中y=1/4，x=5/2，所以有AE：ED= （1+y）/x = （1+1/4）/（5/2） =1/2.

2.应用杠杆原理求解

设mE=1kg，由BD：DC=4：1得mC=4kg，进而mD=5kg，由AF：FC=2：5得mA=10kg，从而AE：ED =mD/mA=1/2 .

通过以上比较分析，得出如下结论：应用向量参数方程和杠杆原理在解决相同高中数学平面几何问题时，其运算结果一致，重现性好，可以逐步推广。

应用杠杆原理解决数学问题的方法简单易行，效果良好。因此，在高中数学教学过程中，教师要结合高中课程改革的新要求，积极探索不同学科间的联系、融合、渗透与应用，不断提升学生的创新能力，促进学生的全面发展。

[参考文献]

[1]丁尔陞等.普通高中课程标准实验教科书—数学4必修B版[M].北京：人民教育出版社，2007.04：96—98.

[2]徐耀，虞關寿.杠杆原理与平面向量问题[J].中学数学教学，2017.03：45-48.

作者简介：栾德权（1988.08-），男，辽宁沈阳人，一级教师，研究方向：高中数学教学与教学法研究。

（作者单位：沈阳市第二十七中学，辽宁 沈阳 110011）