2019年全国高考卷Ⅲ第23题的推广及应用

重庆三峡学院数学与统计学院 (404000) 黄 浩 兰晨曦 陈晓春

2019年高考全国卷Ⅲ第23题(1)：

设x,y,z∈R，且x+y+z=1，求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值.

上述不等式为条件不等式，将其一般化，可得到如下的不等式：

不等式1 设x,y,z,x0,y0,z0∈R,且Ax+By+Cz=S，其中A,B,C,D是常数，且A2+B2+C2≠0，则(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2≥

再将结论的左边添加系数并将指数推广有：

特别地，当A=B=C=1，x0=y0=z0=0时有：

不等式2及不等式3，结构对称，形式优美，对证明分式不等式十分有效，下面举例说明：

例1 已知a,b,c为正数，且满足abc=1，证明：(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.(2019年高考全国卷Ⅰ第23题(2))

证明:记原不等式左端为M，注意到在条件x+y+z=1，由幂平均不等式有xn+1+yn+1+zn+1≥

从不等式2的证明可以看出，可将不等式2及不等式3进一步推广为：