二次Hom-Novikov超代数

孙 冰, 周 鑫

(1.长春师范大学 数学学院, 长春 130032; 2.伊犁师范大学 数学与统计学院, 新疆 伊宁 835000;3.东北师范大学 数学与统计学院, 长春 130024)

Novikov超代数是Novikov代数超形式的推广, 文献[1]研究表明, 其与二次共形超代数[2]、顶点算子超代数[3]密切相关, 并且在量子场论和完全可积系中具有重要作用.二次Novikov超代数是Novikov超代数, 并且具有一个对称的非退化不变的双线性型.目前关于Novikov超代数的研究已有很多结果[4-7].Hom-型代数是将原代数的一个或多个等式用线性映射进行扭曲, 从而得到的一类更广的代数结构, 该映射称为扭曲映射.若扭曲映射为恒等映射, 则退化为原代数.文献[8]提出了Hom-李代数的概念; 文献[9]提出了Hom-结合代数的概念.Yau[10]研究了Hom-Novikov代数, 其为一种特殊的Hom-左对称代数.文献[11]引入了二次Hom-Novikov代数的定义, 并与二次Novikov代数、Hom-李代数等建立了联系.作为Novikov超代数的推广, 文献[12]研究了Hom-Novikov超代数.本文主要研究二次Hom-Novikov超代数.首先, 给出Hom-李超代数、二次Hom-Novikov超代数及相关概念.其次, 当Hom-Novikov超代数中扭曲映射为自同构或对合时, 讨论二次Hom-Novikov超代数与二次Novikov超代数之间的关系, 同时建立二次Hom-Novikov超代数与二次Hom-李超代数之间的联系.最后, 证明二次Hom-Novikov超代数是Hom-结合代数, 且Hom-Novikov超代数的邻接Hom-李超代数是2-步幂零的.

1 基本概念

设A是域 F上的代数, 并且α:A→A是线性映射.A是2-阶化向量空间, 即A可分解为子空间的直和：如果∀α,β∈2,Aα·Aβ⊆Aα+β, 则称(A,α)是域 F上的Hom-超代数.若x∈Aα,α∈2, 则称x是次数为α的2齐次元素, 记|x|=α.若|x|出现在超代数的某个表达式中, 则约定x是2齐次元素.对于A中的任意元素x, 用Lx和Rx分别表示A的左乘算子和右乘算子, 即∀y∈A,Lx(y)∶=xy,Rx(y)∶=(-1)|x||y|yx.

定义1[12]设A是2-阶化向量空间, [·,·]:A×A→A是偶的线性映射, 且α:A→A是线性映射.若下列等式成立:

α([x,y])=[α(x),α(y)], [x,y]=-(-1)|x||y|[y,x],

(-1)|x||z|[α(x),[y,z]]+(-1)|y||x|[α(y),[z,x]]+(-1)|z||y|[α(z),[x,y]]=0,

其中x,y,z是A中的齐次元素, 则称(A,[·,·],α)为保积的Hom-李超代数.当α为恒等映射时, Hom-李超代数退化为李超代数.

定义2[12]设A是2-阶化向量空间,μ:A×A→A是偶的线性映射, 且α:A→A是线性映射.若下列等式成立:

α(xy)=α(x)α(y),

(1)

(xy)α(z)-α(x)(yz)=(-1)|x||y|((yx)α(z)-α(y)(xz)),

(2)

(xy)α(z)=(-1)|y||z|(xz)α(y),

(3)

其中∀x,y∈A,μ(x,y)=xy, 则称(A,μ,α)是Hom-Novikov超代数.

定义2中当α为恒等映射时, Hom-Novikov超代数即退化为Novikov超代数.如果等式(1),(2)成立, 则称(A,μ,α)为Hom-左对称超代数.

定义3设(A,μ,α)是Hom-Novikov超代数.

1) 如果α是代数自同构, 则称Hom-Novikov超代数(A,μ,α) 是正则的;

2) 如果α是对合, 即α2=id, 则称Hom-Novikov超代数(A,μ,α)是对合的.

定义4[13]设(g,[·,·],α)是Hom-李超代数,B是g上的双线性型.

1) 如果∀x,y∈g,B(x,y)=(-1)|x||y|B(y,x), 则称B是超对称的;

2) 如果A⊥={x∈g|B(x,y)=0, ∀y∈g}=0, 则称B是非退化的;

3) 如果∀x,y,z∈g,B([x,y],z)=B(x,[y,z]), 则称B是不变的.

定义5设(g,[·,·],α)是Hom-李超代数, 若g上存在一个超对称的非退化不变双线性型B满足下列等式:

B(α(x),y)=B(x,α(y)), ∀x,y∈g,

(4)

则称(g,[·,·],α,B)是二次(quadratic)Hom-李超代数.当α=id时, 二次Hom-李超代数即退化为李超代数.

定义6[14]设(A,μ)是Novikov超代数,q是A上的双线性型.若A⊥={x∈A|q(x,y)=0, ∀y∈A}=0, 则称q是非退化的双线性型; 若∀x,y,z∈A,q(xy,z)=q(x,yz), 则称q是不变的双线性型; 若∀x,y∈A,q(x,y)=(-1)|x||y|q(y,x), 则称q是超对称的双线性型.

定义7[15]设(A,μ)是Novikov超代数,q是A上的双线性型.如果q是非退化的不变超对称的双线性型, 则称(A,q)为二次Novikov超代数.

定义8[15]设(A,μ,α)是Hom-Novikov超代数, 若A上存在一个超对称的非退化双线性型B满足下列等式：

B(α(x),yz)=B(xy,α(z)), ∀x,y,z∈A,

(5)

则称(A,μ,α,B)是二次Hom-Novikov超代数.当α=id时, 二次Hom-Novikov超代数即退化为二次Novikov超代数.

2 二次Hom-Novikov超代数的构造及性质

引理1[12]设(A,μ,α)是Hom-Novikov超代数.[·,·]:A×A→A是A上的二元算子, 定义为

[x,y]=xy-(-1)|x||y|yx, ∀x,y∈A.

则HLie(A)=(A,[·,·],α)是Hom-李超代数.HLie(A)称为A的子邻接Hom-李超代数.

命题1设(A,μ,α,B)是二次Hom-Novikov超代数, HLie(A)=(A,[·,·],α)是A的子邻接Hom-李超代数.如果α是代数自同构且满足:

B(α(x),y)=B(x,α(y)), ∀x,y∈A,

(6)

则(A,[·,·],α,Bα)是二次Hom-李超代数, 其中Bα(x,y)=B(α(x),y).

证明： 由于B是A上非退化的双线性型, 且α是代数自同构, 故Bα也是A上的非退化双线性型.对任意的x,y,z∈A, 利用式(6)可知

因此Bα是不变的.利用B的超对称性和式(6), 有

Bα(x,y)=B(α(x),y)=(-1)|x||y|B(y,α(x))=(-1)|x||y|B(α(y),x)=(-1)|x||y|Bα(y,x),

故Bα是超对称的.再利用式(6), 可得

Bα(α(x),y)=B(α(α(x)),y)=B(α(x),α(y))=Bα(x,α(y)).

推论1设(A,μ,B)是二次Novikov超代数, (A,[·,·])是子邻接李超代数.若α是(A,μ)上的代数自同构并且满足式(6), 则(A,[·,·]α)=(α∘[·,·],α,Bα)是二次Hom-李超代数, 其中Bα(x,y)=B(α(x),y).

证明： 显然(A,[·,·]α,α)是Hom-李超代数.类似命题1的讨论, 可知Bα是超对称的非退化双线性型且式(4) 成立.因此只需证Bα在A上是不变的.对任意的x,y,z∈A, 利用B的超对称和不变性, 有

引理2若(A,μ,α)是对合的Hom-Novikov超代数, 则(A,α∘μ)是Novikov超代数.

证明： 令x*y=α(xy), ∀x,y∈A.只需验证∀x,y,z∈A, 下列等式成立：

(x*y)*z-x*(y*z)=(-1)|x||y|((y*x)*z-y*(x*z)),

(7)

(x*y)*z=(-1)|y||z|(x*z)*y.

(8)

由于(A,μ,α)是对合的Hom-Novikov超代数, 故

此外,

因此式(7),(8)成立.

引理3设(A,μ,α)是Hom-Novikov超代数, 则(A,α∘μ,α2)是Hom-Novikov超代数.

证明： 令x*y=α(xy), ∀x,y∈A.只需证明∀x,y,z∈A, 下列等式成立：

(x*y)*α2(z)-α2(x)*(y*z)=(-1)|x||y|((y*x)*α2(z)-α2(y)*(x*z)),

(9)

(x*y)*α2(z)=(-1)|y||z|(x*z)*α2(y).

由于(A,μ,α)是Hom-Novikov超代数, 因此有

(x*y)*α2(z)=α2((xy)α(z))=(-1)|y||z|α2((xz)α(y))=(-1)|y||z|(x*z)*α2(y).

此外, 有

命题2设(A,μ,α,B)是对合二次Hom-Novikov超代数, 则(A,α∘μ,B)是二次Novikov超代数.

证明： 由引理2知, (A,α∘μ)是Novikov超代数.只需证明B在(A,α∘μ)上是不变的双线性型.对任意的x,y,z∈A, 有

B(x,α(yz))=B(α2(x),α(yz))=B(α(x)α(y),α2(z))=B(α(xy),z).

命题3设(A,μ,α,B)是二次Hom-Novikov超代数.如果α是代数自同构且满足式(6), 则(A,*=α∘μ,α2,Bα2)是二次Hom-Novikov超代数, 其中Bα2(x,y)=B(α2(x),y).

证明： 由引理3可知, (A,*,α2)是Hom-Novikov超代数.又由于B是A上非退化的双线性型, 且α是代数自同构, 故Bα2是A上非退化的双线性型.对任意的x,y,z∈A, 可得

Bα2(x,y)=B(α2(x),y)=B(x,α2(y))=(-1)|x||y|B(α2(y),x)=(-1)|x||y|Bα2(y,x),

从而Bα2是超对称的.此外, 有

因此Bα2是A上不变的双线性型.

推论2设(A,μ,α,B)是二次Hom-Novikov超代数.如果α是代数自同构且满足式(6), 则(A,αn∘μ,αn,Bαn)是二次Hom-Novikov超代数, 其中Bαn(x,y)=B(αn(x),y), ∀n>0.

设(A,μ,α)是Hom-Novikov超代数, 其中心化子记作Z(A), 定义为

Z(A)={x∈A|xy=yx=0, ∀y∈A}.

设(g,[·,·],β)是Hom-李超代数,g的降中心序列定义为

g0=A,gi=[g,gi-1], ∀i≥1.

如果gi=0并且gi-1≠0, 则称g是i-步幂零的.Hom-李超代数的中心记作C(A), 定义为

C(A)={x∈A|[x,y]=0, ∀y∈A}.

定理1设(A,μ,α,B)是正则二次Hom-Novikov超代数, 则(A,μ,α)是Hom-结合超代数.

证明： 定义(x,y,z)=α(x)(yz)-(xy)α(z).对任意的x,y,z,d∈A, 有

因此,

由B非退化性可得(x,y,z)=0.

定理2设(A,μ,α,B)是正则二次Hom-Novikov超代数, HLie(A)是邻接Hom-李超代数, 则∀x,y∈HLie(A), [x,y]⊆Z(A), 进而HLie(A)是2-步幂零的.

证明： 对任意的x,y,z∈A, 由定理1可得

由式(5), 有

由于α代数自同构且B是不变的, 故[x,y]∈Z(A).因此, [HLie(A),HLie(A)]⊆Z(A).显然,Z(A)⊆C(HLie(A)).所以HLie(A)是2-步幂零的.