关于幂零矩阵的Yang-Baxter矩阵方程的所有解*

丁佳文，叶祥兴，周端美

(赣南师范大学 数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000)

1 引言

令A是一个n×n的幂零矩阵，本文的目的是找出二次矩阵方程

AXA=XAX

(1)

的所有解.方程(1)也被称为Yang-Baxter矩阵方程，因为它在形式上和经典的Yang-Baxter矩阵方程[1-2]很相似.Yang-Baxter方程在统计力学与量子场论,C*-代数,环链不变量,量子群和保形场论等有广泛的应用[3-7].

要找到方程(1)的所有解并不是一件简单的事.实际上若将方程(1)转化成多项式方程组，这等价于求解一个n2个未知数，n2个二次方程的方程组，要找到所有的解并不是一件容易的事，即使是3×3的矩阵[8].目前大多数的研究成果都是在A满足一定条件时求出(1)的所有交换解，即AX=XA.例如，当A是一个可对角化矩阵时，文献[9]给出了方程 (1)的所有交换解；当A是一个指数为3的幂零矩阵时，文献[10]给出了方程(1)的所有交换解；当A是任意一个幂零矩阵，文献[11]给出了方程(1)的所有交换解.此外，当A是低秩矩阵时，一些研究者给出了方程 (1)的所有解[12-14]，当A是一个幂等矩阵时，文献[15]给出了方程 (1)所有解的表达式.本文的主要目的就是当A是一个幂零矩阵时，求出Yang-Baxter矩阵方程(1)的所有解.

2 指数为2的幂零矩阵的所有解

令A≠0是一个指数为2的幂零矩阵，即A2=0.显然A只有零特征值，并且它的最小多项式为m(λ)=λ2，因此A的Jordan块不是1×1就是2×2的对角元素全为0的矩阵.所以存在一个非奇异矩阵W，使得

W-1AW=J≡diag(0,J0,…,J0)

(2)

JYJ=YJY

(3)

引理1如果两个n×n矩阵A和X满足AXA=XAX，那么对于任意非奇异矩阵S，B=S-1AS和Y=S-1XS满足BYB=YBY.

反过来说，如果B=S-1AS，Y是上述方程的解，则X=SYS-1满足AXA=XAX.

求解方程(1)可以转化为求解方程(3)，然后再将X=WYW-1回代，即可求出方程(1)的解.接下来主要求YJY=YJY的所有解，其中J如(2)所示.把Y分成与J相同的分块矩阵

其中M是(n-2k)×(n-2k)的矩阵，Qi=[u2i-1,u2i]∈(n-2k)×2，Pi=[v2i-1,v2i]T∈2×(n-2k),i=1,…,k,且则由JYJ=YJY可得

所以

(4)

因为M未在(4)中出现，所以M可以为任意的矩阵.由于求解方程组(4)比较困难，所以接下来主要求出k=1时，方程(1)的所有解.

3 当k=1时，指数为2的幂零矩阵的所有解

(5)

所以Z有下列3种情况：

下面对Z的这三种情况分别对方程组(5)进行求解.

3.1 Z=Z(1)时方程组(5)的所有解

当Z=Z(1)时，则ZJ0=0，所以只要求解(5)的前面2个方程，Q按列分块，即Q=[q1q2]，其中q1,q2∈(n-2)，则由QJ0Z=0可得因为z4≠0，所以q1=0，即Q=[0q2].可以发现当Q=[0q2]时，QJ0=0,所以方程组(5)的第一个方程成立.综上，当Z=Z(1)时，方程(3)的解为其中M∈(n-2)×(n-2)任意；Q=[0q2]，q2为任意n-2维列向量；P∈2×(n-2)任意.

3.2 Z=Z(2)时方程组(5)的所有解

3.3 Z=Z(3)时方程组(5)的所有解

4 数值例子

5 结论

对于指数为2的幂零矩阵，本文将方程AXA=XAX转换成4个较小阶数的矩阵方程.对于秩为1的幂零矩阵，找到了Yang-Baxter矩阵方程的所有解.但对于任意一个幂零矩阵，求出它的所有解还是很困难的，希望在以后能够找出任意一个幂零矩阵的所有解.