基于通用发生函数与成功流法的多态系统可靠性分析算法研究

曹慧， 段富海， 江秀红

(1.大连理工大学 机械工程学院， 辽宁 大连 116024；2.沈阳航空航天大学 电子信息工程学院， 辽宁 沈阳 110136)

0 引言

传统可靠性分析方法主要应用于二状态系统，如故障树分析法、二元决策图等。但由于环境、负载、老化等问题，部件存在退化、突发等多种失效形式，使系统呈现多态性质，导致传统二状态分析方法难以适应实际工程应用[1]，因此需要有针对性地研究多态系统可靠性分析问题。

成功流(GO)法是一种以成功为导向的系统可靠性建模方法[2]，迄今已成功应用于系统可靠性分析[3-6]。但GO法定量计算方法(如概率公式算法)在分析多态系统可靠性问题时较为复杂，因此传统GO法只适用于分析二状态系统或简单多态系统的可靠性问题[7-8]。近年来关于GO法的研究大多集中在GO法对多态系统的扩展应用上，如 Zhou等[9]通过重新定义GO法中操作符3与操作符15，定量分析了缩式致动器多态系统可靠性。王海朋等[10]将GO法与模糊数学模型相结合，提出了适应不确定性多态系统可靠性分析的模糊GO法。GO法虽然能够对多种系统结构图直接建模，但其计算过程含有共有信号，大大增加了计算复杂度。因此，许多学者针对GO法共有信号修正问题进行了研究，如文献[11-12]利用概率矩阵算法(PMA)改进了共有信号修正算法，提出一种新的多态GO操作符，并基于改进GO法建立了多态惯性导航系统可靠性模型。Ren等[13]提出了一种基于多值决策图的多态GO模型高效算法，避免了复杂共有信号修正过程，并可通过定性计算直接获得系统最小路集和割集。上述研究方法成功地将GO法应用在复杂多态系统中，并形成了多种可靠性计算方法。但基于GO法的大多数相关研究中，实际技术应用较多，而针对GO法计算效率改进算法的研究仍显不足。

目前，适用于多态系统分析的方法有多态故障树、多值决策图、蒙特卡洛算法、通用发生函数(UGF)等[14]。其中 UGF方法是一种分析系统可靠性的有效代数方法，该方法最早由Lisnianski等[15]应用于电力系统可靠性分析中。Lisnianski等[16]结合可靠性框图与UGF，对多种复杂多态系统结构可靠性进行分析，为UGF在可靠性领域应用提供了较完整的基础理论。Lisnianski等[17]将UGF与随机过程相结合，准确预测了冗余结构多态系统的短期和长期性能。Larsen等[18]利用UGF方法评估了性能加权的k/n系统可靠性。

本文结合传统GO法和UGF，提出适用于多态系统可靠性计算的UGF-GO算法，以有效提高复杂系统可靠性计算效率。UGF-GO算法的基本思想是利用GO法对复杂系统结构进行建模，得到由系统部件操作符及信号流构成的系统可靠性分析GO图；利用u函数表征GO图中各操作符及其状态概率，分析GO图结构得到系统输出状态函数U(z)，进而直接得到系统可靠性。UGF-GO算法的共有信号修正基于UGF分层计算思想，在计算过程中可消除共有信号对后续操作符的影响，通过对含共有信号的子系统输出信号进行修正，得到准确系统输出状态概率。与传统GO法相比，UGF-GO算法的计算过程简便灵活，易于编程实现。

1 基本理论

1.1 GO法基本原理

GO法可以通过分析系统结构直接建立GO图。GO图中操作符代表部件及其逻辑关系。GO法主要步骤是建立GO图和进行GO运算。GO图建立时，要求标明操作符类型和编号，至少有一个输入操作符(类型4或5)，其余操作符输入输出信号流连通且不存在反馈环节[7]。GO运算有状态组合算法(定性)及概率公式算法(定量)。定性运算根据操作符运算规则分析系统输出信号状态及各状态可能的组合。定量运算在定性运算基础上，计算输出信号各状态概率，由于系统输出信号各状态相互独立，可直接计算得到系统状态概率。定量计算过程中，若某操作符输出信号为后续两个或多个操作符的输入信号，则该信号为共有信号，需要修正。

1.2 UGF方法

UGF方法[19]以离散信号分析中的z变换为理论基础，是一种解决系统多态可靠性分析问题的有效方法，同时该方法能够较好地解决多态系统的共有信号修正问题。在多态系统中，利用发生函数描述部件状态和状态概率的关系，通过系统部件状态u函数构成系统结构U函数，采用发生函数运算法则计算系统的U函数，从而得到系统可靠性[20]。假设系统部件各状态间统计独立，则描述部件随机变量X的u函数可定义为

(1)

式中：u(z)为X的u函数；z为辅助变量；xj为X的状态参数，j=0,…,k；pj为相应状态概率。

通过定义系统结构算子⊗f可将(1)式中u函数形式作更一般化地推广，得到描述系统各部件结构关系的U函数[21]：

(2)

式中：⊗f(·)为系统结构函数；f(xij1,…,xnjn)为与⊗f有关系统各部件的状态组合。令Xi的u函数为ui(z)，则系统关于结构函数f(X1,X2, …,Xn)的U函数还可表示为

U(z)=⊗f(u1(z),u2(z),…,un(z)).

(3)

定义结合z变换与结构算子⊗f的系统分析方法为UGF方法。本文系统结构由GO图建立，因此系统结构算子定义为⊗g形式。UGF对系统或部件参数的状态形式及数量没有限制，因此这种方法更适合于多态系统分析，GO法对系统可靠性建模简单方便。本文结合二者的优势提出UGF-GO算法，用以解决系统多态可靠性分析问题。

2 UGF-GO算法

2.1 UGF-GO算法过程

UGF-GO算法是结合UGF，对传统GO法的扩展性应用。UGF-GO算法所有操作符的状态组合由u函数表示，同时可根据系统u函数的结构关系直接计算系统状态概率。

UGF-GO算法的计算过程：

1) 根据系统结构建立GO图，确定输入操作符及其状态概率，建立系统部件输入信号u函数：

(4)

式中：ui(z)为系统部件i的u函数；xij表示部件i处于j(j∈{0,1,…,ki})状态；pij(∑pij=1)为相应状态概率。

2)分析GO图系统结构关系，利用系统结构算子⊗g建立系统U函数：

U(z)=⊗g(u1(z),u2(z),…,un(z)).

(5)

3)根据u函数运算法则，对系统U函数进行分步计算，得到U函数成功状态概率，对系统U函数成功状态求导，即可得系统可靠性：

R=U′(z).

(6)

2.2 UGF-GO算法共有信号修正

GO图中，某信号同时参与多个操作符的运算，则称该信号为共有信号。共有信号作为多个操作符的输入信号，因此后续相关操作符的输出信号都会含有或部分含有该共有信号。存在共有信号的系统必须进行共有信号项的修正，否则会产生较大的计算误差[7]。

概率公式算法[7]的共有信号修正方法是对输出信号状态累积概率AR进行修正。AR可表示为

AR=N(AS1,AS2,…,ASM)，

(7)

式中：N(·)为多项式函数；AS1,AS2,…,ASM为M个输入信号Si的状态累计概率。

当系统只有一个共有信号Sa时，第i个部件输入信号状态概率和共有信号修正精确算法公式分别为

ASi=a0i+a1iASa，

(8)

(9)

式中：a0i、a1i与共有信号无关，a0i=0表示Si完全包含共有信号Sa，a0i≠0表示部分包含共有信号。

系统有L个共有信号Sl时，输出信号AR的计算公式为

(10)

本文将共有信号以及后续操作符划分为子系统，并认为子系统的状态概率是整体以共有信号为前提的条件状态概率，在子系统内部不考虑共有信号的影响，只对子系统整体输出信号进行修正。设共有信号Sa故障状态为xSa，相应状态概率为vSa，含有单个共有信号Sa的子系统u函数为uSa(z)，则子系统输出信号修正算子ξ定义为

ξ(uS(z))=(1-vS)uS(z)+vSzxS.

(11)

在同一系统GO图出现多个共有信号Sl时，则根据计算时序将系统划分为多个包含共有信号的子系统，分层计算各子系统并修正。设包含共有信号的子系统u函数为

(12)

设共有信号故障状态概率为vSl，输出信号修正算子π定义为

(13)

UGF-GO算法将共有信号作为子系统条件概率，不再对输出信号累积状态概率进行修正，而直接对输出信号状态概率进行一次修正，即可得到精确输出状态概率。这样不仅有效消除了共有信号对后续操作符的影响，简化了共有信号修正过程，还降低了系统GO图的计算复杂度，使其更适用于多态系统的可靠性分析。

2.3 UGF-GO算法改进

在UGF-GO算法中，根据GO法给出的标准操作符类型定义，各操作符的逻辑运算关系可用u函数直观描述。常用的GO操作符有类型1(两状态单元)、类型2(或门)、类型5(信号发生器)、类型6(有信号导通)、类型10(与门)、类型11(M取K门)等，其中部分操作符u函数计算过程如下：

1)类型1(两状态单元)。图1中类型1操作符u函数只有成功(1)和故障(0)两种状态，输入u函数有0,…,k种状态，其中0表示故障状态。

图1 类型1(两状态单元)操作符Fig.1 GO operator of Type 1 (two-state units)

类型1操作符输出状态u函数为

(14)

式中：p表示操作符1成功输出状态概率；j表示uS函数状态值，j= 0, …,k.

2)类型2(或门)。图2中类型2操作符表示M个输入u函数uS1,uS2,…,uSM的或逻辑关系。

图2 类型2(或门)操作符Fig.2 GO operator of Type 2 (OR gate)

根据(2)式任意两个输入u函数uSb、uSc，经或逻辑运算后输出状态u函数为

(15)

式中：pbjb表示uSb的输出状态概率，jb表示uSb的状态值，jb=0, …,kb；pbjc表示uSc的输出状态概率，jc表示uSc的状态值，jc=0, …,kc.

3) 类型10(与门)。图3中类型10操作符表示M个部件u函数uS1,uS2,…,uSM的与逻辑关系，输出状态值是M个输入信号的最小状态值，根据(2)式，类型10操作符输出状态u函数为

(16)

图3 类型10(与门)操作符Fig.3 GO operator of Type 10 (AND gate)

4) 类型11(M取K门)。图4中类型11操作符为M取K门逻辑，表示M路通路中K路信号成功，系统即为成功状态。此时将系统输出状态值按降序排列，系统成功状态概率为各通路成功状态概率之和。

图4 类型11(M取K门)操作符Fig.4 GO operator of Type 11 (K out of M gate)

设操作符算子为Uφ，φ(M,K)=1(M≥K)。类型11操作符输出状态u函数为

(17)

式中：uSi表示操作符11的M路输入u函数。

3 基于UGF-GO算法的系统可靠性分析

3.1 算法基本应用

图5 电源开关系统GO图Fig.5 GO chart of power switch system

图5是电源开关系统GO图，该系统是由5个操作符组成的串联与并联多态系统，其中信号输入操作符1、2含有(2)、无(0)信号两种状态。操作符1的输出信号为后续操作符3、4的输入信号，因此输出信号1是该系统的共有信号。操作符3、4除成功(2)、故障(0)状态外，还存在异常状态(1)。系统GO图中各操作符功能及状态概率如表1所示。

表1 电源开关系统操作符数据Tab.1 Operator data of power switch system

根据UGF-GO算法，得到电源开关系统U函数为

(18)

U(z)即为系统的状态概率，将各操作符状态概率代入(18)式，可得电源开关系统可靠性为U′(2)=0.857 7. 该结果与文献[7]中概率公式算法结果一致，验证了UGF-GO算法的有效性。算例中虽然串/并联系统存在多态部件，但UGF-GO算法计算操作符2、3、4的过程不受共有信号1的影响，只对系统输出信号5进行一次修正，即可得到准确的串/并联系统可靠性。

3.2 共有信号修正

图6给出了一个含共有信号的供水系统GO图，系统由14个操作符组成。各操作符只有成功(1)和故障(0)两个状态。其中操作符11是(4取2门)操作符，信号1、5、11是后续操作符的共有信号，在计算系统输出状态概率时需要修正。

图6 供水系统GO图Fig.6 GO chart of feed water system

设各操作符成功状态概率为p1=0.999 99,p4=p10=0.999 9，p2=p3=p6=p7=p8=p9=p12=p13=0.999，p5=p11=0.99. 假设共有信号1、5、11相互独立，考虑到共有信号的影响，经过(13)式修正后最终输出状态概率U函数可表示为

(19)

式中：

d6(z)=〈v5z0+(1-v5)u(z),u(z)〉；

(20)

(21)

操作符7、12、13输出状态u函数与操作符6类似。将各操作符状态概率代入(19)式，得到系统输出成功概率精确值为U′(1)=0.999 796，此结果与文献[2]分析的结果一致，证明了UGF-GO算法的共有信号修正方法有效。UGF-GO算法可利用计算公式直观描述GO图系统结构，因此可在MATLAB等软件中对GO图进行一次建模，直接通过系统各部件状态概率得到系统输出状态概率，提高计算效率，若已知系统部件可靠性分布，则可利用采样计算得到系统可靠性分布规律。

3.3 系统可靠性分析

图7 某型飞机供电系统GO图Fig.7 GO chart of an aircraft power supply system

某型号飞机电气系统如图7所示。图7中270 V质量供电系统可以减小载流导线尺寸，从而将质量、压降和功耗减至最小。系统中大功率发电机产生270 V直流电，其中部分转化成115 V交流或28 V直流，为特定设备或负载供电[22]。对该系统建立系统GO图，采用UGF-GO算法分析其系统可靠性。

设该系统为多态系统，即系统输出信号有正常(2)、老化故障(1)和突发故障(0) 3种状态。其中汇流条设备为老化故障状态，老化可由微小接触电阻阻值累积导致的性能退化表征，各设备退化可靠性Ri(t)由Gamma过程建模仿真。发电机和变流器输出信号为正常和突发故障两种状态。操作符10、16输出信号分别包含共有信号3、4，计算输出信号10、16时需要修正。某型号飞机供电系统操作符数据如表2所示。

表2 某型飞机供电系统操作符数据Tab.2 Operator data of an aircraft power supply system

注：α、β为Gamma过程参数，p0为突发故障概率。

由于系统结构呈对称分布，分别含有共有信号3、4的子系统也为对称形式，具有相同u函数，两个子系统u函数分别为

(22)

共有信号3、4的u函数分别为

(23)

共有信号修正为

u10(z)=ξ3(ug1(z))，u16(z)=ξ4(ug2(z))，

(24)

GO图系统U函数为

(25)

可得某型号飞机供电系统可靠性为U′(1)。根据UGF-GO算法计算得各部件可靠性及系统退化过程可靠性如图8所示。

图8 某飞机供电系统可靠性Fig.8 Reliability of aircraft power supply system

供电系统部分部件可靠度随时间变化数据如表3所示。

表3 部件和系统可靠性随时间变化数据Tab.3 Time-variant reliability data of components and system

从仿真结果可以看出，通过结合系统各部件退化可靠性分布模型， UGF-GO算法可以有效地对系统可靠性进行评估。本文算法通过采样各操作符关于时间的可靠性数据，直接得到系统可靠性精确结果，这是UGF-GO算法的优点。且本文在保证计算效率的前提下，使系统可靠性分析结果考虑全部系统部件的退化性能影响，这也为后续系统维修策略优化提供了研究基础。

4 结论

本文在传统GO法基础上结合UGF提出了UGF-GO算法，并给出了GO法常用操作符的基本计算过程及共有信号修正算法。得出以下结论：

1) UGF-GO算法改进了GO法操作符计算过程，通过直观描述GO图系统结构关系，有效简化了系统可靠性分析过程；UGF-GO算法采用分层分析思想，简化了系统输出状态的共有信号修正过程。

2)UGF-GO算法与概率公式算法计算结果对比，验证了UGF-GO算法用于静态系统可靠性分析的准确性；通过结合系统部件可靠性分布函数，UGF-GO算法可直接得到系统动态可靠性变化规律。