多种拟合函数在绕组温升试验中的适用性分析

周全，谢肖，王婷婷，张晓楠

（1.上海市质量监督检验技术研究院，上海 201114；2.中检集团理化检测有限公司，上海 200072）

引言

通常在电气产品的安全标准中，涉及绕组温升的试验时，均要求采用电阻法来进行测量。这是因为在绕组中难以布置热电偶，而且热电偶的测量区域很小，不能很好地反应整个绕组的温升情况。电阻法测量温升的原理是，根据金属电阻随温度发生变化的现象，利用物理原理和数学工具，采用测量电阻的方法来间接推算绕组的温度变化。

实践中，绕组初态（冷态）电阻值的测量较为方便，但是其终态（热态）电阻按标准应采用曲线拟合后外插值的方法来进行确定。即在断开电源后和其后几个短的时间间隔，尽可能快地进行若干次电阻测量，从而绘制出电阻对时间变化的曲线，再用其确定电源断开瞬间的电阻值[1]。所以，通过对实测获得的电阻值数据进行处理，正确计算绕组在断电瞬间的终态电阻值，即零时刻电阻值，是影响绕组温升试验结果准确性的关键性因素[2]。

1 对拟合曲线函数的基本要求

选择合适的拟合曲线基函数，将直接影响拟合效果，对试验结果产生极大的影响。然而，目前并没有相关标准对此予以约束，也缺乏具有针对性的方法解释，试验人员可以自由选择诸如对数函数、指数函数、幂函数、线性或非线性多项式函数等进行数据处理，因此造成计算结果缺乏说服力，试验数据难以获得公认。

从数学角度看，绕组温升试验中的曲线拟合，不同于完全抽象的范畴，是一种基于理论模型的曲线拟合。即，所获得的曲线函数f(x)应该建立在非稳态散热条件下的绕组电阻变化的数学模型之上，其基本特征应尽可能满足两个特殊要求。

1）因为绕组温度及其下降速率会随时间推移逐渐降低，相应的电阻值及其下降速率也会随之减小，所以函数f(x)及其导函数f′(x)在x→0+附近应该是连续的单调递减函数。

2）因为金属电阻与温度的关系方程（R=R0（1+αT））中包含一个常数项，所以函数值f(0)应存在，其对应了绕组的终态电阻值。还因为金属电阻与温度的线性关系，所以导函数f′(x)在数学形式上宜与原函数f(x)保持一致。

除此以外，因为在试验中越先测得的数据，越能体现绕组在断开电源瞬间的实际情况，所以函数f(x)在计算时可以按数据获得的时间顺序进行加权处理。还因为测量值与真实值之间存在误差，所以函数f(x)的图像可以不经过任意的数据点。当然，拟合曲线在形态上必须与实测数据点的分布情况相符合，这也是对所有函数逼近和曲线拟合方法的基本要求。

2 对选择拟合曲线基函数的理论探讨

选择拟合函数时，首先应观察数据点的分布形态，其次还应兼顾所得函数的合理性与可解释性。绕组由于发热和散热条件复杂，其内部存在一个复杂的温度场[3]，故而就绕组温升试验而言，曲线拟合的基函数可选择的类型很多，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、多项式函数以及其他复合函数等。

1）对数函数

当选择选择对数函数作为拟合的基函数时，在数学上只需使用式（1）的形式即可，但是该函数在f(0)处没有定义，无法直接求出所需要的绕组电阻值，所以需要将其改写成如式（2）的形式后，才能用于对试验数据进行拟合计算，其导函数如式（3）所示。

因为对数函数的导函数不再具有对数形式，在理论上就违背了金属电阻值与温度变化的线性关系，所以，在做小型绕组的温升试验时，不宜采用对数函数进行计算。只有当测量大型绕组时，出现了温度场分布不均匀导致电阻值与温度不在满足线性关系时，才可以采用对数函数拟合计算。

2）指数函数

当选择指数函数作为拟合的基函数时，可以自行确定指数的底，相应的原函数及其导函数为：

但习惯上往往使用自然指数e，相应的原函数及其导函数为：

指数函数的导函数仍为指数函数，符合电阻与温度变化的实际情况，所以这种方法可以适用于各种大小的绕组。然而指数函数的理论缺陷也很明显，以自然指数函数为例，对式（6）两边取自然对数可得：

可见，指数拟合的前提是x与lny要满足线性关系，而实际上，时间x与绕组的电阻值y之间显然缺乏这样的关系。因此，采用指数函数进行拟合缺乏必要的数学基础。

3）幂函数

当选择幂函数作为拟合的基函数时，会遇到与对数函数同样的问题，即f(0)没有定义，必须使用式（9）的形式进行计算。其导函数仍为幂函数，所以这种方法适用于各种大小的绕组。

4）三角函数

通常会选择形如式（11）的三角函数作为拟合的基函数，其导函数形如式（12）所示。

因为三角函数是连续的周期性函数，试验人员必须判断函数在整个试验采样时间内是否出现拐点，否则该函数的意义将表示绕组电阻值的下降速率随时间推移而加快，从而违背了非稳态散热的基本规律。

5）多项式函数

当选择多项式函数作为拟合的基函数时，对于给定区间内的n+1个互异的节点，其n次插值多项式存在且唯一，因此，无论用哪种方法求取f(x)，其结果总是相同的。其函数和导函数的形式为：

由于多项式函数的导函数仍然是多项式函数，能够在形式上体现绕组温变速率与温度变化的相关性，因此这种方法同幂函数一样具有普适性。然而其缺点也很明显，一是由于其导函数与原函数的次数不同，也就意味着在给定区间以外的一侧，温变速率与温度变化是负相关的，这也违背了基本的物理常识。二是多项式插值在接近区间两端点附近的偏离很大，函数可能出现龙格现象而不收敛，然对于绕组温升测量而言，却正是需要在端点附近有较高的插值精度以确保零点电阻值数据的准确性。

6）其他函数

除了上述简单函数以外，还有很多函数可以作为拟合的基函数，例如将指数函数与幂函数相结合，可以得到：

由于这些函数形式上相对复杂，计算量大，物理上的涵义也不明确，因此在实践中较少应用。只有当被测绕组出现极为复杂的温度场，温变速率与温度变化存在极为明显的不相关性时，才可能考虑使用这些函数。

3 对采用不同函数拟合结果的分析

实践中，要准确获得绕组在断电瞬间的电阻值，需要使用在线电阻测量仪。然而此类仪器不仅价格偏高，而且重复性不佳，目前尚未被各实验室广泛采用。

为了研究不同函数拟合结果之间的差异以及它们相对于真值的偏差，设计了如下试验。选择一个小功率单相交流串励电动机的定子绕组作为试验对象，用低阻导线将两侧定子串联。将样品置于75 ℃的烘箱中保温24 h以使绕组达到一定的温升并保持整个样品内部建立相对稳定的温度场。试验时，先在烘箱环境中测量绕组的电阻值R0，由于此时绕组的温度保持稳定，因此能够较从容地测出其绕组在当前温度，即75 ℃时的电阻值。然后将样品取出烘箱，在室温环境下，绕组温度开始下降，相应的电阻值也发生变化，随即自取出样品后的第10 s开始，每隔5 s读取当前绕组的电阻值，至第40 s止，测得7组数据（见表1）。然后对这些数据采用不同的拟合函数计算零时刻的电阻值R0＇，与样品在烘箱环境下的电阻值R0进行比较，两者越接近就意味着该拟合函数越精确。

将表1中的数据采用本文所述的各种简单函数作为基函数进行拟合后，取f(x=0)即可得到零时刻的电阻值R0＇，结果表 2。

表1 电阻测量结果

值得说明的是，对这组数据采用高次多项式拟合，出现了非常明显的龙格现象，计算得到的零时刻电阻值显著偏低。根据龙格的证明，在等距节点的条件下，使用拉格朗日插值多项式的拟合函数，只会在|x|≤3.63内收敛，插值多项式的次数越高，其精度并非也越高[4]。另外，对于采用的三角函数而言，由于该函数的周期为2π/2.760 9×10-2=227.6，远大于试验中10 s的首次时间间隔，因此该函数是有效的。

表2 拟合结果汇总

4 总结与建议

通过观察表1中的数据可以发现，高次多项式函数和对数函数的偏差相对较大，各函数拟合后在零时刻与首次采样时刻之间的解析式图形如图1所示。

因为试验中进行电阻测量要求在短时间内完成，绕组的温度下降较为有限，因此认为绕组的电阻温度系数和传热系数等参数是不变的。根据经典传热学理论[5]，当这些参数为常数时，在非稳态条件下实心球体的温度分析解表达式为：

图1 各函数往零时刻区间内的拟合图形

尽管该表达式是通过球体得出的，但是对于其它形状的实心固体也具有类似的表达式。由于该分析解在形式上具有三角函数和指数函数的特征，然而当采用三角函数时，需要验证拟合函数能够保证零时刻与首次采样测量的时间小于该函数的周期时，这就增大了检测人员的工作量。

综上所述，利用曲线拟合对绕组温升测试中的热态电阻进行计算时，宜优先选择三角函数作为拟合曲线的基函数。当采样时间间隔超过三角函数的周期时，可以选择指数函数或多项式函数进行拟合计算，但应注意避免多项式函数出现数值振荡，不宜刻意强取高次多项式。