超α-可数紧空间的若干性质

张瑜 张国芳

摘  要：该文在超拓扑空间上对超α-可数紧性质进行了研究，给出了超α-可数紧、几乎超α-可数紧及弱超α-可数紧的定义，研究了这些超拓扑性质之间的关系，探究了它们闭子集的超拓扑性质及它们在超α-连续映射下像的性质。T.M.Al-shami在文献中利用超开集定义了超紧和超lindel?f、几乎超紧和几乎超lindel?f、弱超紧和弱超lindel?f等空间，研究了它们之间的对应关系。

关键词：超α-开集  超α-可数紧空间  几乎超α-可数紧空间  弱超α-可数紧

中图分类号：O1591    文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）03（c）-0211-02

Abstract： This article studies the supraα-countably compact space on the supra space， gives the definitions of the supraα-countably compact and （weak） supraα-almost countably compact， research the relationship among them， explores the supra  topological properties of their closed subsets andimages of  supraα-continuous mapping.

Key Words： Supraα-open set; Supraα-countablecompact spaces; Almostsupraα-countable compact spaces; Mildly supraα-countable compact spaces

1  介绍

1983年，Mashhour在文献[1]中对超拓扑空间的定义进行了介绍，去掉了其中的有限交条件，即X上的幂集2X的一个子集族U如果满足（1）φ，X在U中;（2）U中元素的任意并仍然在U中，则称（X，U）为超拓扑空间。U中的任意一个元素都称为超拓扑空间（X，U）的超开集，超开集的补集为超闭集。设A为超拓扑空间X的一个子集，点x∈A，如果存在超开集U，使得x∈UA，则称A是x的一个超邻域。Mashhour也对S*连续映射的性质进行了研究，给出了超Ti（i=2，3，4）的定义并对超分离性质进行了刻画。

2016年，T.M.Al-shami在文献[2]中给出了超极限点定义，即若（X，U）是一个超拓扑空间且AX，点x的任意超邻域都至少包含A中不同于x的一个点，则点x叫作A的超极限点，并研究了超极限点和超边界点的性质，介绍了超闭包算子、超lindel?f、几乎超紧（几乎超lindel?f）和弱超紧（弱超lindel?f）等性质，指出了它们之间的关系。

2016年，M.Abo-elhamayel和T.M.Al-shami在文献[7]中介绍了一类特殊集——超α-开集，详尽地阐明了超开集和超α-开集的关系，探究了超α-开集在超连续映射、超开映射、超同胚映射下的性质，讨论了超α-开集在超-分离公理上的应用。

2017年，T.M.Al-shami在文献[1]中利用超α-开集定义了超α-紧和超α-lindel?f、几乎超α-紧和几乎超α-lindel?f、弱超紧和弱超α-lindel?f等空间，研究了它们之间的对应关系。

2  主要结果

一个空间称为超T2空间[3]，如果对于X中的任意两个不同的点x和y，存在两个不相交的超开集U和V，使得x∈U，y∈V。

令E为超拓扑空间X的子集，把包含在E中的所有超闭集的交称为E的超闭包[3]，记作scl（E）。包含在E中的所有超开集的并称為E的超内部[3]，记作sint（E）。

一个超拓扑空间E的子集称为超α-开集[1]，如果Esintsclsint（E）。

一个超拓扑空间的超α-开集{Gi∶i∈I}族称为子集E的超α-开覆盖[3]，如果E∪{Gi∶i∈I}。

如果X是一个超T2空间，且X的任意可数超α-开覆盖均有一个有限超α-子覆盖，则称X为超α-可数紧空间。

定理1 超α-可数紧的超闭子空间为超α-可数紧空间。

证明：令X为超α-可数紧空间，F为X的超闭子集，任取一个F的可数超α-开覆盖U{Vi|i=1，2，…，n，…}。由子空间的定义可知任意的Vi∈U，存在X中超α-开集Ui使得Ui=Vi∩F，则{Ui|i=1，2，…，n，…}就构成了覆盖F的X的超α-开集族，故ω=（X/F）∪{Ui|i=1，2…}就构成了X的可数超α-子覆盖，由于X为超α-可数紧的，所以ω中的有限子族{Ui1，Ui2，…，Uin}覆盖了X中的有限超α-子集F，令Uij=Vij∩F，其中，则{Vi1，Vi2，…，Vin}就构成了U的有限超α-子覆盖。

设X与Y为两个超拓扑空间，f是X到Y的一个映射，如果Y中的任意超开集U的逆像f-1（U）是X的一个超α-开集，则称f是一个超α-连续映射。

定理2  一个超α-可数紧子空间在超α-连续映射的像是超可数紧的。

证明：令g：X→Y为超α-连续映射，并且为超空间X的超α-可数紧子集，假设Y={Gi∶i=1，2，…，n，…}为g（A）的一个可数超开覆盖，即g（A）{Gi∶i=1，2，…，n，…}，则;由于g是超α-连续映射，则g-1（Gi）为超α-开集，由于A是超α-可数紧子集，则，故，其中S0为{1，2，…，n，…}的一有限集，因此g（A）是超可数紧的。

如果X是一个超T2空间[1]，且X的任意可数超α-开覆盖U均有一个U的有限超α-子族的闭包覆盖X，则称X为几乎超α-可数紧空间。

定理3  任意超α-可數紧空间都是几乎超α-可数紧空间。

证明：令X是一个超α-可数紧空间，则对于X的任意可数超α-开覆盖{Gi：i∈S}，其中S={i=1，2，…，n，…}为可数集S0S，均存在一个有限集，使得，由于X的任意子集包含在它的超α-闭包中，所以，则X是几乎超α-可数紧空间。

一个超拓扑空间下的集合称为超α-闭开集，如果它既是超α-开集，也是超闭集。

定理4  如果F是一个几乎超α-可数紧空间（X，U）的超α-闭开集，则F是几乎超α-可数紧空间。

证明：令F是X的一个超α-闭开集且可数集{Gi：i∈S}是F的一个超α-开覆盖，其中S={i=1，2，…，n，…}。因为Fc是超α-闭开集，则。因为X为几乎超α-可数紧空间，则，其中S0{1，2，…，n，…}为有限集，因此。因此F是几乎超α-可数紧空间。

定理5  如果A是X的一个几乎超α-可数紧子集且A是X的一个超α-开闭子集，则A∩B是几乎超可数紧空间。

证明：令是A∩B的一个可数超α-开覆盖，其中S={i=1，2，…，n，…}。则。因为，其中S0{1，2，…，n，…}为有限集，则。因此A∩B是几乎超可数紧空间。

定理6  一个几乎超可数紧子集在超α-连续映射的像是几乎超α-可数紧的。

证明：令g：X→Y是一个超α-连续映射，且令A是X的一个几乎超α-紧子集。假设{Gi：i∈S}是g（A）的一个可数超α-开覆盖，其中S={i=1，2，…，n，…}。则。因为g是超α-连续映射，则对于任意的i∈S，g-1（Gi）均为超α-开集。因为A是几乎超α-紧空间，则其中S0S，S0{1，2，…，n，…}为有限集。因为g是超α-连续映射，故：

由于，因此g（A）是几乎超α-可数紧的。

如果X是一个超T2空间，且X的任意可数超α-开闭覆盖均有一个有限超子覆盖，则称X为弱超α-可数紧空间。

定理7  任意几乎超α-可数紧空间是弱超α-可数紧空间。

证明：令是X的一个可数超α-开闭覆盖，因为X是一个几乎超α-可数紧空间，则且Gi是一个超α-闭开集S0为的有限集{1，2，…，n，…}，则sαcl（Gi）=Gi且，因此X是一个弱超α-可数紧空间。

定理8  任意的一个弱超α-可数紧空间的任意超α-闭开集F亦是弱超α-可数紧空间。

证明：令F是X的一个超α-闭开集且令{Gi∶i=1，2，…，n，…}是覆盖F的X中一个超α-开闭集族。则Fc是超α-闭开集，且，因为X是弱超α-可数紧空间，则，故，其中S0{1，2，…，n，…}为有限集。因此F是弱超α-可数紧空间。

参考文献

[1] A.S.Mashhour，A.A.Allam，F.S.Mahmoud，et a.On supra topological spaces[J].Indian Journal of Pure and Applied Mathmatics，1983，14（4）：502-510.

[2] T.M.Al-shami.Some results related to supra topological spaces[J].Journal of Advanced Studies in Topology，2016，7（4）：283-294.

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