数学与应用数学专业“高等代数”课程教学之我见

汪定国 杨新强 蒋鹤立

[摘 要] 该文主要从注重高等代数与初等数学的结合、一题多解、加深教学内容的深度与难度以及改革学生学习评价四个方面，探讨了数学与应用数学专业高等代数课程教学的有关问题。

[关键词] 高等代数;教学;初等数学;一题多解;评价

[基金项目] 重庆市高等教育学会教改课题“数学与应用数学本科拔尖创新人才培养新模式的探索与实践”（CQGJ17066B）

[作者简介] 汪定国（1976—），男，四川广元人，博士，重庆师范大学数学科学学院副教授，主要从事离散数学的教学与理论研究。

[中图分类号] G642.0    [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2020）17-0329-02    [收稿日期] 2020-03-06

“高等代数”是数学与应用数学本科专业的三大主干基础课程之一，是该专业非常重要的一门学科基础课程，对该专业本科阶段的学习和数学素质的培养占有重要地位，在数学与应用数学专业本科拔尖创新人才培养方面具有奠基功能。而且在中学数学中平面几何教学减弱的情况下，高等代数课程在培养数学的逻辑推理能力方面更是起着不可缺少的作用。但高等代数课程概念多、抽象推理多，学习有一定的难度，尤其是对于刚刚从中学进入到大学的大一学生，由于思维模式的局限，更是觉得困难重重。这些都给高等代数的教学提出了巨大的挑战。关于高等代数教学的研究结果也有很多，下面谈谈本人从多年的“高等代数”课程的教学过程中所得到的几点感受。

一、注重高等代数与初等数学的结合

高等代数理论包含多项式理论与线性代数理论，对于高等代数的内容安排，多数教材是将多项式理论放在第一章，并且授课对象一般是数学与应用数学专业大一的学生，他们刚刚从中学进入大学，其思维方式习惯于针对具体对象，而对于一般的、抽象的研究对象不容易理解。从而对于多项式理论的教学，可以首先复习初等数学中的有关理论。

另外，在教学的过程中也要注重中学数学与高等代数的结合，要让学生知道，中学更多的是知道“怎样做”，而很少去深入研究“为什么”。高等代数解决了初等数学中很多遗留问题，回答了初等数学中很多的“为什么”。例如多项式的根及因式分解理论、线性方程组的解法等，对中学数学解题有“居高临下”的作用。比如中学数学中分解因式的“十字相乘法”，为什么不在有理数范围内考虑，而只需要在整数范围内考虑呢？多项式理论中的因式分解理论中的定理“一个整系数多项式f（x）在有理数域中可约的充要条件是f（x）在整数环中可约”对此做了理论支撑;又如中学解线性方程组时的消元法的理论依据是什么？即为什么可以保证在消元过程中对方程组的变换不会改变方程组的解呢？在高等代数的线性方程组的消元法理论中就有定理“方程组的三种初等变换都是同解变换”解释了消元法过程不改变方程组的解的疑问。

如果在教学过程中，有意识注重了高等代数理论与初等数学理论的结合，不仅让学生能够快速地转换自己的思维方式，而且明白了很多中学时代可能想要去探索的问题，这样能够大大提高学生的学习兴趣，学好高等代數那就顺理成章了。

二、注重培养学生“一题多解”的习惯与能力

所谓一题多解，主要体现在没有唯一的、固定的模式，而是以其多样化的答案为明显的特征。可以通过纵横发散、知识串联、综合沟通，达到举一反三、融会贯通的目的，是培养学生发散思维的好方法。

牛顿曾经说过：“在学习科学时，题目比规则还有用些。”在高等代数课程的教学中，对于定理、例题以及课后作业应该注重一题多解，可以从多种解法的比较中得到启发，加深对有关概念、定理的理解，并能开阔思路、活跃思维、举一反三、触类旁通，进而融会贯通和综合运用有关的理论知识，提高分析问题和解决问题的能力。

在该例题中，通过这样两种证明方法可以看出，要证明一个矩阵为0，既可以证明这个矩阵的每个元素为0，也可以证明这个矩阵的秩为0。同时将这个问题跟齐次线性方程组的基础解系建立了联系，达到了融会贯通的目的。

三、适当加深教学内容的深度与难度

高等代数课程不仅是数学与应用数学专业的学科基础课程，而且也是数学专业硕士研究生入学考试的必考科目。虽然很多学校专门开设了一学期的高等代数选讲，但是课时并不多，选讲内容却很多，于是对于之前一年的教学内容很难再次进行加深与加难。这就有必要在第一年学习阶段教学中适当地加深教学内容的深度与难度。

在平常的教学中，对于每个教学内容，要阐述清楚该内容的学习目的、应用以及与前后知识的联系，清晰展示每个教学内容之间的逻辑关系，要让学生知道，为什么要学习这个内容。同时，对于课程中的所有定理要进行详细的证明，并且在证明中需要清晰的展现出证明思路以及解释用这样的思路的原因，以此培养学生的逻辑推理的能力。

四、改革对学生学习的评价方式

由于高等代数课程一般都是针对数学与应用数学专业的大一学生开设，他们刚刚经过艰苦的高中学习，刚进入大学后，思想上开始放松，加之中学教育与家庭教育的影响，总认为中学辛苦了，进入大学先要好好放松一下，殊不知对于数学与应用数学专业而言，必须要付出比中学更多的辛苦与努力才能学好专业课。这就使得在大学的专业课程教学的同时，还需要转变学生的思想观念，让学生能够更加重视专业课的学习，时刻保持学习的动力。这些都需要改革对学生学习的评价方式，不能再用传统的期末一考定成绩的方式，而应该加重平时考核的力度。建议可以采用如下评价机制：平时成绩与期末考核成绩各占50%。平时成绩主要包含：平时作业占总成绩的10%、课堂出勤和课堂表现占总成绩的10%、平时测验（一般进行三次）占总成绩的30%。这样的模式强调了平时的考核，也使得学生在上课、作业、及时复习巩固等几个环节中都必须认真对待且要切实的完成。

高等代数是数学与应用数学专业的一门很重要的基础课，该课程有一定的抽象性，对于刚刚从中学进入大学的学生来说，确实有一定的难度，而且对将来学生的进一步发展有重要的影响。这也就对高等代数课程教学提出了更高的要求。本人提出了几点浅见，希望与高等代数课程的教学人员共勉。

参考文献

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[2]刘花，刘国新，钟艳.高等代数“一题多解”与“一解多关”相关思考[J].西安文理学院学报：自然科学版（4），2011，（14）：14-16.

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[4]方建波.数学与应用数学专业研究性学习的教学模式研究——以高等代数课程为例[J].林区教学，2015，（012）：90-91.

[5]魏献祝.高等代数一题多解200例，福建人民出版社，1982，8.

Abstratc：This paper lays stress on the four aspcts-the combination of higher algebra and elementary algebra，multi-solution to a problem，increasing the depth and difficulty in teaching material，reforming the evaluation of students' learning- to probe into some related problems in higher algebra course，mathematics and applied mathematics major.

Key words：Higher algebra;Teaching;Elementarymathematics;Multiple solutions to one problem;Evaluate