从“简单”到“多元”的数形结合

陈 云

“数”与“形”是数学中最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，我们称之为“数形结合”。在小学数学教学中，数形结合在各个领域都有渗透，特别是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题。数形结合能力的培养，要经历由易到难、由简到繁的发展变化，从“简单易变”到“对应稳定”，再到“多元丰富”，一步步走向成熟。

一、简单易变——数形结合的初级形式

严格意义上的数形结合应该是数与形之间的一一对应关系，是“以数解形”和“以形助数”的完美结合。事实上，在小学阶段（特别是小学低段）我们对数形结合的应用多半着力于“借助于直观形象模型理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系”，这固然是小学生学习数学的重要方法，但这一方法与严格意义上的“数形结合”方法在内涵上是不一致的。

例如：在学生学习“3+4=7”时，必定要借助具体的实物让学生感受“加”的意义。教师的操作可能是这样的：先拿出3个苹果，再拿出4个苹果，问学生现在讲台上有几个苹果？

也可能是这样的：左手拿着3根小棒，右手拿着4根小棒，两只手并拢到一起，问学生两只手上一共有几根小棒？

还有可能是这样的：左边画4个圆，右边画3个圆，问学生黑板上一共有几个圆？

……

这里借助苹果、小棒、圆形都十分简单，是学生已有生活经验中的东西，不需要学生重新认识和加以理解。所以，这些实物或图形加上教师的操作就能够较为轻松地帮助学生理解加法的算理。但是，这里的实物和图形并不能算作数形结合的“形”，因为苹果有大有小，还可以换成梨子；小棒有红有绿，换成弹珠也未尝不可；圆形变成三角形同样不影响学生的理解。甚至于，有教师提出，在最初借助实物或图片帮助学生理解数学概念时，借用的实物或图片不能始终保持不变，以免学生形成思维定势，好比一直用静止的水果图片表示3+4的意思，再换成活动的羊群，学生就不知道怎么办了。所以这里的实物和图片并不是数形结合中的“形”，因为这里并不关心几何图片的形状和大小、具体实物的性质和状态，并没有赋予图片和实物本身形状和大小量化的特征，运用各种不同的材料都能起到相同的作用。因此，这里的“数形结合”还只是一种“雏形”，算是“数形结合”的初级形式——简单易变。

二、对应稳定——数形结合的高级形式

当“数学结合”在课堂中演变为用数轴、线段图、正方形、圆、图像等抽象的“形”来帮助学生理解数、数量关系时，就是真正的以形助数了。教师在引导学生研究问题的过程中，要注意把数和形结合起来考查，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，把“数”和“形”建立起一一对应的关系，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，以达到化难为易，获得解决问题简便、易行的成功方案。

例如：直线、线段在教学中的运用。从低年级开始就会借助直线认识数的顺序，从认识整数（如图1）到认识小数、分数（如图2），再到高年级的画线段图帮助学生理解实际问题的数量关系（如图3）。这里的每一条线、每一个点、每一份间距都有特定的含义，如在认识整数、小数、分数的数轴中，指向“0”的点都是一个起点，而在认识负数的数轴上，指向“0”的点很显然只是一个分界点，一端为正，则另一端为负。再如图3的线段图，表示杨树棵数的线段长度由表示柳树棵数的线段长度所决定，而且这里即便不是杨树、柳树，换成红花、绿花；男生、女生……只要数量关系不变，线段图都不变。这就实现了把抽象的数的概念和数量关系与图中的点、线紧密结合、一一对应，简洁、直观、易懂。

图1

图2

图3

在小学数学课堂中，“数”和“形”有着对应稳定关系的内容还有很多，学生比较熟悉的除上面提到的还有用代数（算术）方法解决几何问题。如角度、周长、面积和体积等的计算，一个小正方形、一个小正方体都是一个特定的计数单位；通过计算三角形内角的度数，可以知道它是什么样的三角形等等都是“以数解形”的较好运用。至于平面直角坐标系，虽然在小学阶段还只是渗透，应用得比较浅显，但位置、正反比例关系图像等内容，能很好地帮助学生体会代数与几何之间的联系，成为学生今后进一步学习数学的基础。再有统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现，统计图表把抽象的、枯燥的数据直观地表示出来，便于分析和决策。这些才是真正意义上的数形结合，就是让“数”与“形”之间具备了某种特定的关系或结构，让学生看到某个“形”就能想到某些特定的“数”或“数量关系”，看到某些“数”或“数量关系”就能画出特定的“形”，其实就是从所给问题的情境中辨认出符合问题目标的某个熟悉的“模式”，这称之为数形结合思想的高级形式。

三、多元丰富——数形结合思想的理想形式

数形结合思想在问题解决中比较困难的就是根据对象的属性和问题的特点将“数”与“形”巧妙对应，也就是把“数”对应的“形”或与“形”对应的“数”找出来，利用“数”与“形”的关系来解决问题。但是任何一种思想方法都不是孤立和固定不变的，我们的数学课堂不必太过“中规中矩”，特别是小学数学课堂，我们还可以给学生更多的自由，为培养学生的创造精神留出更大的空间，充分发挥学生在学习中的创新求变意识，更广泛地挖掘教学素材和生活素材，使“数”的理解更宽泛、“形”的表达更多元，这正是我们在“图解数学”过程中希望达到的理想境界。

例如：有这样一道两步计算的简单问题：“图书馆故事书和童话书共借走72本，其中故事书比童话书多借走12本，两种书分别借走了多少本？”我们似乎很期望得到如图4这样的“标准”的数形结合方式，但事实上我们还能看到图5、图6、图7，其实每一种想法都是一种特别难得的思路，像这样一些“非标准”画法，反而给其他同学提供了更多的变式思路，如果我们引导学生从这些“异样”的“形”中找出“变”与“不变”，就能够很好地凸显知识核心、问题本质——万变不离其宗。

图4

图5

图6

图7

虽然数形结合总体来说还是会趋向对应稳定，但在小学数学学习中，我们没有必要过早给学生“定势”的表达，可以让学生在“数”与“形”的关系变化中去感悟不变的本质，因为不同的形式往往会生成不同的内容，产生不同的效果，有利于处在不同层次上的学生的心智结构都能得到完善。