GeoGebra可视化在开放教育复变函数教学中的运用

汪 吉

(武汉市广播电视大学汉阳区分校 湖北 武汉：430050)

复变函数作为开放教育数学与应用专业的基础课程，对于锻炼学生的数学思维、培养学生的数学素养有着重要意义。但在实际教学中，由于课程内容抽象、逻辑性强，加上偏重理论的教学模式，导致教学过程枯燥乏味，影响了学生的学习兴趣和学习效果。

近来年，随着有关可视化教学的研究逐步开展，其在提升教学效果方面的作用日益受到重视。本文以复指数函数的教学为例，探讨了利用GeoGebra软件开展可视化教学的优势，为开放教育教学改革提供了一些参考。

1 基于GeoGebra的复变函数可视化教学

可视化教学是在教学活动中借助计算机软件的可视化功能，将被认知的对象及其发展变化的过程以具体、形象的方式展现出来。其目的在于帮助学生通过直观地观察、发现，自主地建立起知识模型，从而更好地提高学习效果。

对复变函数这一课程而言，已有一些学者利用matlab、mathematica、maple等软件辅助教学。但这些大型数学软件的优势在于科学计算，直接利用软件自带的函数绘图，难以展现数学对象动态变化的过程，可视化效果有限。而针对具体教学案例进行二次开发又相当繁琐。加之对开放教育的师生而言，想要熟练掌握上述软件，既有难度，也非必要。因此选择一款简单易学、使用方便的软件更为合适。

GeoGebra是由美国数学家Markus(Hohenwarter设计的集数值计算、符号计算、函数绘图等功能的数学教育软件，其具有界面简洁化、命令可视化等优点，输入函数表达式即可得到函数图像，并能实现两者的同步变化。利用GeoGebra开展可视化教学，通过对函数图像的动态演示，直观地展现函数的性质，使抽象的问题形象化，学生更易接受和理解。同时GeoGebra作为一款免费、开源、跨平台的软件，可在计算机、平板电脑、智能手机等多种操作系统中无障碍地运行，并且拥有很好的网页支持，在没有安装软件的设备上，也只需打开网页即可运行。因此利用GeoGebra能非常方便地建构交互式学习资源，满足开放教育学生的自主学习需求。

2 基于GeoGebra的复变函数可视化教学案例

下面以复指数函数为例，探讨GeoGebra在复变函数教学中的应用。

2.1 复指数函数的图像

复指数函数的定义：设复数z=x+iy，称exp(z)=ex(cosy+isiny)为复数z的指数函数。由定义看出，复指数函数的实部和虚部都是二元函数，要描绘函数的图形，就必须采用四维空间。为了避免这一困难，可以借用两张复平面：自变量z平面和因变量w平面上点集间的对应关系来描述复指数函数。GeoGebra软件可以同时显示多个绘图区，并能实现函数图像在不同绘图区上的同步变化，十分适合展现平面和平面的对应关系。下面借助GeoGebra绘制复指数函数的图像，步骤要点如下：

(1)确定绘图区边界及有关参数

在指令栏依次输入：C11=角落(1,1)、C12=角落(1,2)、C=(0,0)。在绘图区中新建2个滑动条m(取值范围为[0,2*pi]，增量为pi/10)、n(取值范围为[0,20]，增量为1)。在指令栏依次输入：p=floor(abs(x(C11))/(2*m/n))、q=floor(abs(x(C12))/(2*m/n))。

(2)以绘图区作为z平面，绘制单位方格边长2m/n的直角坐标网格

在指令栏依次输入：list1=序列(曲线(t,-m+2*m*k/n,t,-2*p*m/n,2*q*m/n),k,0,n,1)、list2=序列(曲线(2*m*k/n,t,t,-m,m),k,-p,q,1)。

(3)以绘图区2作为w平面，绘制极坐标网格

在指令栏依次输入：list3=序列(曲线(e^t*cos(-m+2*m*k/n),e^t*sin(-m+2*m*k/n),t,-2*p*m/n,2*q*m/n),k,0,n,1)、list4=序列(曲线(e^(2*m*k/n)*cos(t),e^(2*m*k/n)*sin(t),t,-m,m),k,-p,q,1)、circle:x^2+y^2=1。

(4)在z平面绘制复数点z0=a+ib，在w平面绘制复数点w0=ea(cosb+isinb)

在绘图区中新建2个滑动条a(取值范围为[-2*m*p/n,2*m*q/n]，增量为0.1)、b(取值范围为[-m,m]，增量为0.1)。在指令栏依次输入：z_0=a+b*i、w_0=e^a*(cos(b)+sin(b)*i)、text1="z=a+ib"、text2="w=exp(z)"。

(5)绘制演示控制按钮

新建按钮“改变实部(a)”，选择“GeoGebra脚本”，输入指令：启动动画(a)、启动动画(b,false)；新建按钮“改变虚部(b)”，选择“GeoGebra脚本”，输入指令：启动动画(b)、启动动画(a,false)；新建按钮“跟踪轨迹”，选择“GeoGebra脚本”，输入指令：设置跟踪(z_0,true)、设置跟踪(w_0,true)；新建按钮“取消跟踪”，选择“GeoGebra脚本”，输入指令：设置跟踪(z_0,false)、设置跟踪(w_0,false)；新建按钮“清除轨迹”，选择“GeoGebra脚本”，输入命令：放大(1)、设置活动视图(2)、放大(1)；新建按钮“停止动画”，选择“GeoGebra脚本”，输入指令：启动动画(false)。

在可视化教学中，通过点击按钮“跟踪轨迹”、“改变实部(a)”、在滑动条a的属性中改变动画方向等操作，实现z0实部a的递增或递减变化的演示。从运动轨迹看出：若z0在z平面上沿x轴正方向做直线运动，则w0在w平面上沿远离原点的方向做直线运动，若z0沿x轴负方向做直线运动，则w0沿向着原点的方向做直线运动。当z0在y轴左侧时，w0在阴影所示的单位圆内部运动，而当z0在y轴右侧时，w0在单位圆外部运动，如图1所示。

图1 复指数函数可视化演示1

同样，在点击按钮“取消跟踪”、“清除轨迹”后，通过点击按钮“跟踪轨迹”、“改变虚部(b)”，在滑动条b的属性中改变动画方向等操作，实现z0虚部b的递增或递减变化的演示。从运动轨迹看出：若z0沿y轴正方向做直线运动，则w0绕原点做逆时针圆周运动。而z0沿y轴负方向做直线运动，则w0绕原点做顺时针圆周运动。其中，当z0移动过距离2π后，w0刚好回到起点。由此可知，w0为周期函数，周期为2kπi(k∈)，如图2所示。

图2 复指数函数可视化演示2

由上述演示看出，复变量的指数函数虽然是实变量的指数函数的推广，但由于定义域的不同，函数性质发生了很大的变化，比如ez的周期性是ex所没有的。

2.2 复指数函数的级数形式

在复变函数中，Taylor级数是研究函数性质的有力工具，函数的Taylor展开作为复变函数的重点内容，不但有理论价值，更有现实意义。下面借助GeoGebra来实现复指数函数的Taylor展开式的可视化，步骤要点如下：

(1)绘制复数z=a+ib、ea和ez所对应的向量

在指令栏依次输入：b=imaginary(z_0)、u=向量((e^real(z_0),0))、v=旋转(u,b)、α=角度(u,v)、β=arg(z_0)。

(2)绘制ez的Taylor展开式中的项所对应的向量

在绘图区中新建滑动条n(取值范围为[0,10]，增量为1)。

在指令栏依次输入：O=(0,0)、list1=序列(1/i!*z_0^i,i,0,n)、list2=序列(总和(list1,i),i,1,n+1)、list3=添加(O,list2)、list4=序列(向量(元素(list3,i),元素(list3,i+1)),i,1,n+1)、list5=序列(直线(元素(list3,i),元素(list3,i+1)),i,1,n+1)、list6=序列(量角(元素(list5,i),元素(list5,i+1)),i,1,n)、list7=序列(中点(元素(list3,i),元素(list3,i+1)),i,1,n+1)、list8=序列(z^i/i!,i,0,n)、list9=序列(文本(元素(list6,i),元素(list5,i),false,true),i,1,n+1)。

(3)有关文本

在指令栏依次输入：f(x)=总和(list6)、a(x,y,z)=f(z)。

在可视化教学中，通过拖动绘图区内复数点z=a+ib改变z的值，拖动滑动条n改变Taylor展开式的阶数等操作，实现复指数函数的Taylor展开的演示。当拖动滑动条n使之递增时，Taylor展开式的阶数随之增大，展开式相邻两项所对应的向量的夹角始终等于arg(z)，而整个展开式的部分和逐步逼近ez，如图3所示。改变的值以进一步观察，此时需要特别注意当z的实部或虚部为0等特殊情况，如图4所示。

除了复指数函数外，利用GeoGebra同样可以研究其他初等函数的性质，这里不再赘述。在教学实践中应以实变量和复变量函数的异同为切入点，紧紧抓住函数性质上出现的保留、失去、增加等情况，引导学生通过操作软件自主观察、探究复变量函数性质，进而和熟悉的实变量函数作对比，以加深对复变量函数性质的理解。

3 GeoGebra可视化教学效果分析

为了解GeoGebra可视化教学后学生的学习兴趣和学习效果，作者以复指数函数这一部分内容进行教学实践，教学结束后对班级36名学生开展问卷调查，问卷包括6个单选题，回收有效问卷36份，统计分析结果如表1所示。

图3 复指数函数可视化演示3

图4 复指数函数可视化演示4

表1 使用 GeoGebra 可视化教学效果的分析

调查表明，100%的学生认为使用GeoGebra能提高学习兴趣，91.7%的学生认为课堂上使用GeoGebra能吸引他们的注意力，88.9%的学生认为GeoGebra的动态可视化效果能加深对数学概念的理解，86.1%的学生认为GeoGebra能够降低课程的学习难度。

综上，大部分学生都对GeoGebra在加强数学知识理解能力、提升学生兴趣和学习效果中的作用给出了有较好的评价。

4 结束语

复变函数的理论是由几何特征明显的复数理论逐步发展而来的，是一门数、量、形相结合的课程，在教学中应当注重将抽象的理论和直观的图形综合起来。GeoGebra的优势在于强大的绘图功能，利用GeoGebra进行可视化教学，将抽象、复杂的理论以具体、形象的方式展示出来，帮助学生透过概念的直观印象建构其本质特征，从而激发学生学习的积极性和主动性，加深学生对数学知识的理解和应用。在开放教育的教学实践中应不断对其深入研究，以更好地提高教学质量。