GeoGebra在中职数学角的概念推广教学中的实践

顾媛媛

[摘           要]  角的概念在中职数学中是比较难定义的概念之一。在简单介绍GeoGebra动态数学软件的基础上，借助实例，使学生认识角的概念的推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，进一步深刻理解角的概念，培养数形结合的思想。

[关    键   词]  GeoGebra;中职数学教学;数形结合

[中图分类号]  G712                   [文献标志码]  A                    [文章编号]  2096-0603（2020）17-0158-02

角的概念的推广是中职数学中重要的概念之一，本文借助GeoGebra动态软件，重点讲解任意角的概念、正角、负角、象限角、轴线角以及终边相同的角的探究，目的在于辅助课堂教学，激发学生学习数学的热情，以适应教育现代化的需要。

一、GeoGebra软件介绍

GeoGebra动态教学软件由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter 设计。该软件将几何（Geometry）与代数（Algebra）完美融合，体现了数形结合的数学思想，将复杂的数学问题动态化、情景化、形象化。

二、情境引入：基于GeoGebra软件引入任意角的概念

情境引入：在GeoGebra软件中创建时钟情境，并制作分针旋转动画，让学生观察分针从左端位置到右端位置共旋转了多少度？若从右端位置旋转了一周半后到达左端位置，则又旋转了多少度？

设计意图：GeoGeBra动画中通过创设分针绕着圆心旋转的情境，学生能直观感受到以射线绕着端点周而复始地旋转，深刻体会“旋转”两个字的含义，此过程中形成超过0°～360°的角，而这些角都不在初中研究的角的范围内，由此引出本节课所要研究的内容“任意角”，加深学生对任意角的概念的理解，激发学习新知识的兴趣。

三、问题探究：基于GeoGebra软件探究正角、负角、零角

问题：如果某时钟快10分钟，如何校准？时钟慢了10分钟，如何校准？

学生活动：学生在GeoGebra软件中拖动滑动条分别将分针逆时针旋转60°、顺时针旋转60°进行校准时钟。

追问1：在刚才校准时钟的过程中，出现了两个相反的旋转方向，一个是顺时针方向旋转，另一个是逆时针方向旋转，如何用数学的方法将按顺时针、逆时针两种相反方向旋转的角加以区分？

追问2：其实我们之前也有过类似的经验，比如实数中我们对互为相反的数如何区分的呢？

教师活动：根据以往的经验，实数中我们将互为相反的数分别规定为正数和负数加以区分，引导学生类比于以往经验，规定逆时针旋转的角为正角，顺时针旋转的角为负角。时钟快10分钟，校准时也称旋转60°，时钟慢10分钟，校准时也称旋转

-60°，如果一条射线没有任何旋转，我们也把它称作一个角，叫做零角。

设计意图：通过学生在GeoGebra软件中操作分针顺时针和逆时针旋转60°，不仅能让学生感受到两种不同的旋转方向，还能引发学生深入分析和思考如何区分这两个大小相同但方向不同的角，从而更深刻地体会“旋转”两个字的含义。类比于实数中正负数区分规则，引导学生以正角、负角来区分不同旋转方向的角，加深学生对任意角的理解。

四、合作探究：基于GeoGebra软件探究象限角、轴线角

合作探究1：以时钟中的分针为研究对象，请同学们按照以下步骤将时钟从12：15拨回到10：15（12：15→12：05→11：45→11：10→10：15），并记录每一步骤中分针旋转了多少度。前后左右四人一组相互讨论，并画出這些角。

学生活动：通过分组讨论与交流，学生得出依次旋转是60°，120°，210°，330°这四个不同的角，并在草稿纸上画出了这些角（位置各异，方向不同）。

合作探究2：我们研究的角的范围已经从0°～360°范围内推广到任意角，而这里只是作出四个角就已是位置各异，方向不同，显然会对我们今后的研究带来不便，那有没有什么好的办法将这些角统一表示出来呢？同学们可以联想实数中正数、负数和0可以借助数轴有效地区分和研究。那在平面中我们可以借助什么数学工具研究任意角呢？前后左右四人一组再次相互讨论，并分享讨论结果。

学生活动：可以将这些角都统一放到直角坐标系中进行研究。

教师活动：类比于正数、负数和0可以借助数轴有效地区分和研究，那我们研究的任意角将可以借助直角坐标系来研究，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系。此时角的终边在直角坐标系中将落在不同的象限内，根据角的终边所在的象限位置则称其为第几象限角，若角的终边落在轴线上，则称其为轴线角。

设计意图：分组讨论让学生自主发现，若角的位置和形状不统一，将会对进一步研究角带来更多的麻烦。GeoGebra软件的动画演示能让学生体会到将角放入直角坐标系中的便捷性。

五、寻找规律：基于GeoGebra软件探索终边相同的角的规律

寻找规律1：我们仍以时钟的分针为研究对象，请同学们注意观察：如果分针旋转150°，-210°，870°，-930°后有什么规律？

学生活动：通过观察发现，分针在旋转了以上角后所在的位置都相同，即这些角的终边都相同。

寻找规律2：与这些角终边相同的角还有吗？它们之间有怎样的数量关系？

学生活动：这样的角有无数个，它们之间都是相差360°的整数倍。

教师活动：通过刚才发现的规律，与150°角终边相同的角有无数个，这些角包括150°在内可以构成集合，用描述法可以写成β|β=k·360°+150°，k∈Z，由这样的特殊情况推广到一般的情况，与α终边相同的角所构成的集合为β|β=k·360°+α，k∈Z。

设计意图：通过GeoGebra软件中旋转分针的操作，学生更容易发现规律，能更直观地感受到无论是顺时针还是逆时针旋转360°的整数倍后，角的终边仍然不变。

在角的概念的推广的探究学习过程中，借助信息化元素GeoGebra课件，提升了学生学习的兴趣和学习的主动性，学生更深刻地理解了任意角的概念、正角、负角、象限角、轴线角以及终边相同的角，体现了数形结合的数学思想，进一步培养了学生科学的数学逻辑思维，进而提高课堂效率，促进了学生的数学理解和数学发现。

参考文献：

[1]曹千秋.GeoGebra动态数学软件在椭圆学习中的教学实践[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（1）：9-11.

[2]左晓明，田艳丽，贠超.基于GeoGebra的数学教学全过程优化研究[J].数学教育学报，2010（1）：99-102.

[3]沈翔.GeoGebra基本操作指南[M].北京：高等教育出版社，2016.

编辑 常超波