恒成立问题中一类难点突破

俞新龙

(浙江省绍兴市柯桥区越崎中学 312050)

恒成立问题是高中数学一类重要的题型，大家都学有基本解题针对套路，如f(x)≥a(a为常数)恒成立，则f(x)min≥a；f(x)

一、变量分离

综上所述，a≤1-2ln2，从而得实数a的最大值为1-2ln2.

上面每一种情况的讨论不能出任何差错，否则必将前功尽弃！但如果我们用变量分离的方法解该题，则将容易得多.

变量分离也不一定不需要分类讨论，但它确实是一种有效突破方法，请继续看下面例子.

例2设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若对任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立，则a=____.

二、等价转换函数

例3若不等式2xlnx≥-x2+ax-3对x∈(0,+∞) 恒成立 ，则实数a的取值范围是( ).

A.(-∞，0) B.(-∞，4]

C.(0，+∞) D.[4，+∞)

等价转换函数是否成功的标志是能否求出转换后函数的最值.该题也可以用变量分离法求解如下：

三、利用充分条件

四、作差比较大小

需要注意的是以上突破策略并不是孤立的，有时需要两者配合进行.