在析“错”中凸显数学核心素养

郭耀宇

(福建省厦门市集美区灌南小学 福建 厦门 361021)

数学教师对于孩子在解题过程中所犯的错误该如何处置呢？倘若能把学生的错误进行挖掘再加工，让“错误”充分展露出它应有的价值，那么就应该可以期待融错背后学生能力及素养的提升。以下试从融错这个角度对培养和提升学生的推理能力与运算能力这两个核心素养加以阐释。

1.巧妙变式，提升推理能力

新课标指出推理是数学的基本思维方式，推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程。在六年级教完《分数乘除法》后，有一类题让学生屡做屡错，若能融错得当，颇能提高学生的推理能力。题目如下：一条绳子剪成两段，第一段长3/7米，第二段占全长的3/7，请问哪段绳子长？经整理有如下“错误但极有价值”的分析：A：“绳子长度未知，采用特值法，设绳子总长度为1米，则第二段绳长为1×3/7=3/7(米)，所以一样长”；B：“也用特值法，设总长度为2米，则第二段绳长为2×3/7=6/7(米)，所以第二段长”；C：“设总长度为1/2米，则第二段绳长为1/2×3/7=3/14(米)，而第一段长3/7米=6/14米，故第一段长”；D：“绳子的总长度未知，前面的解法都只是其中一种情况，无法概括出全部，故无法比较长短”；D选项较多人赞同。正是到了“不悱不发”的最佳融错时机，此时从反证法的角度点出A的问题：既然求出第二段是3/7米，那两段加起来总长是6/7米，这与假设全长是1米，岂不是自相矛盾？并且6/7<1，也说明还有第三段，这与题意不相符。接着继续引导，能否通过数形结合的方法来解决，比如尝试画线段图帮助分析(如下图)。在画图的过程中，学生理解了第二段占全长的3/7，那么第一段应占绳子全长的4/7，故第一段长。

此时继续挖掘错误，引导学生探究“特值法的假设为什么是错的”？“根据已知条件能求出绳子的确切长度吗？”豁然开朗！陆续有学生根据线段图列出算式得到整条绳子的长度：3/7÷(1-3/7)=3/4(米)；还可假设绳子长为x米，有(1-3/7)x=3/7，得x=3/4米！原来是一个确定的数值，因此随意的假设当然就错了(学生错用特值法：因为一开始这条绳子的长度就是确定的，只不过是一个隐藏的已知条件)！此时还可继续深挖，出示这道题：一条绳子，第一次剪下3/7米，第二次剪下全长的3/7，请问哪次剪下的绳子长？虽然有了前一题的铺垫，但是很多同学因审题不清，还是认为第一次比较长。实际上这一题没有强调只能剪成两段，只是说剪了两次，所以绳子的总长度是无法再被确定的，因此正确答案是无法判断哪次剪的长。通过让学生从错误中学习，并对题目进行变式，层层推进，让学生学会用画图法、方程法等方法分析数量关系，相信能慢慢提升学生的推理能力。

2.对比辨析，提高计算能力

运算能力主要是指能够根据法则和运算定律正确的进行运算的能力。从某个角度来说运算能力是学好数学最基础也是最重要的能力了，因此教师要高度重视学生运算能力的培养。在毕业考计算总复习中，因为对乘法分配律的定义理解不清，导致乘法分配律的应用不佳。针对此种情况安排学生再次“试错”。给出以下四道题(4题依次出现，完成一题再出示下一题，附学生解答)。

①(1/4+1/5)×20

=1/4×20+1/5×20

=5+4

=9

②(1/4+1/5)÷1/20

=1/4÷1/20+1/5÷1/20

=1/4×20+1/5×20

=5+4

=9

③1/20÷(1/4+1/5)

=1/20÷1/4+1/20÷1/5

=1/20×4+1/20×5

=1/5+1/4

=9/20

④(1/4+1/5)×4×5

=1/4×4+1/5×5

=1+1

=2

做完第①题后大家顺着乘法分配律的思维做第②题，学生做对了吗？解题中含有“所谓除法分配率”的“影子”，可并没有“除法分配率”！错了吗？但通过变形答案又是正确的。第③题就有部分学生受思维定势影响做错了。第④题学生“选择性”的应用乘法分配律。如何引导学生经历“辨析”的环节？使学生们能够顺利纠错。笔者首先请一位同学板演第②题(已在学生做题时巡视过)，板演如下：

(1/4+1/5)÷1/20

=(1/4+1/5)×20

=1/4×20+1/5×20

=9

然后请他说说思路，“先将括号看成一个整体，运用除法法则，将除法转变成乘法，再运用乘法分配律进行计算”，他的分析使学生明确了上例第②题答案正确的“侥幸”。其次是对于第③题的处理，作为教师必须深知课堂教学中真正的生成性往往来自学生出现差错时教师的处理和师生的互动。本题受“除法分配率”这个负因素的思维干扰，为此我设计了辩论环节，正方即运用“除法分配率”的学生代表分析说：“因为乘除法运算互为逆运算，所以可以把1/4和1/5分开除然后再相加，应该不会错！”反方学生阐述：我们根据运算顺序，有括号先算括号里的，然后再进行除法计算，得出的答案是1/9。这时再让学生观察第②题与第③题的题目结构有何不同？然后顺势复习乘法分配律的定义：两个数的和与第三个数相乘等于这两个数分别与这个数相乘再相加。第②题(1/4+1/5)÷1/20=(1/4+1/5)×20可以转化成乘法分配律的模型，因为可以把1/20看成是第三个数，但第③题1/20÷(1/4+1/5)中因为两个数的和即(1/4+1/5)已经移换到了除数的位置，所以此时无法再转化成乘法分配律的模型了，故上例中第③题的解法应该是错的。第④题依然可以把(1/4+1/5)看作一个整体，把4×5先计算出来，然后依照第①题计算。通过这样的辨析，学生在常错而又有疑惑的地方得到了明晰，学生思考后的辩论和知错析错改错后的兴奋，也必定会进一步让学生巩固对运算定律——乘法分配律的理解和应用，这样的融错必将提高学生的计算能力。

3.错题收集，促成素养提升

错误伴随着整个学习过程，单纯依靠课堂这一阵地进行“融错”，时间是远远不够的。为此笔者在班级鼓励学生开展各具特色的典型错题收集活动，每位学生准备一本精美的笔记本，然后要求学生根据自己的学习层次摘抄比较有针对性并且较有思维价值的错题，按照①错题的来源②正确的解答③给我的启发④所用数学解题方法四个步骤进行整理，尤其重点关注第④点即所用的解题方法，尽量做到每次收集错题的时候，都有特值法、数形结合法、分析综合法、排除法等类型的题目，哪怕是优生虽然没有什么错题可收集，但也要根据这几种方法挑选出对他而言比较有思考价值的题目，分门别类加以整理。一般要求学生以每单元做为一个小周期，在单元检测讲评完后布置错题收集，收集完后教师进行批改并加以引导，在收集的题目上做适当变形，比如修改数字或对调题目的题设和结论，让学生再次练习，从而让学生有的放矢，根据解题方法解决同一类型的题。同时为了保持住学生的新鲜感，每个月安排一节课让学生交流收集错题的感想，把好的方法和同学们一起分享，力求让学生自己实现“造血”的功能；接着以半学期为一个大周期，在一学期内举办两次的错题集手抄报比赛，并颁发奖状和奖品以鼓舞学生不断的融错。经过这样的训练，学生们基本能以正确的态度对待错误，能够利用错题集归类，解题方法得到优化，自身“融错”的能力也有所提高，促成了数学核心素养的提升。

怀特黑德说畏惧错误就是毁灭进步。教师要让学生从自己或他人的错误中感悟、学习，使错误的消极因素转化成积极因素，直至获得成功的体验。因为我们坚信有错误的学习才是真正的学习！期待错误的华丽转身吧！