一道双变量最值问题的解法探究

穆沛泽

(山西省应县一中，037600)

波利亚曾指出：“掌握数学就意味着善于解题,中学数学的首要任务就是加强解题训练．”解题教学是高中数学不可或缺的重要组成部分,如何进行高效的解题教学，是广大师生共同面对的课题．实践证明，一题多解是提高解题能力的有效方法,对同一道题目从不同角度思考,既可以对知识达到融会贯通,又能训练思维能力,使解题能力大大提升．本文结合一道双变量代数式的取值范围问题,从不同角度进行切入,通过一题多解，最后殊途同归来训练学生的解题能力,．

题目已知正数x,y满足x2+6xy=1,则x+2y的最小值为______．

解法1(消元+基本不等式)

解法2(三角换元+基本不等式)

点评上述两种方法都是基于消元思想,是多变量问题常见的一种解题思路．

解法3(双换元)

解法4(参数方程+三角公式)

x2+6xy=(x+3y)2-9y2=1.

可得3mcosθ+sinθ=3,

解法5(参数方程+斜率模型)

解法6(判别式法)

解法7(齐次式+基本不等式)

∵x2+6xy=1,

解法8(齐次式+导数)

同上可得

点评方法7和方法8都采用了齐次式的处理手法,将问题转化为函数问题,可用基本不等式或导数进行解决．

解法9(拉格朗日乘数法)

点评这是解决多元变量的通法,来源于高等数学,已经超出高中数学的范围,可参考．

波利亚在《怎样解题》中指出:“好题目和某种蘑菇有相似之处:当你找到第一个蘑菇或作出一个发现后,再四处看看,它们总是成群生长的．”通过一题多解,举一反三,触类旁通,可有效提高数学解题能力．