渗透思想 激活思维——以“解析几何中的动点问题”为例

刘红艳

(江苏省常州市第三中学，213000)

高三数学专题复习是提高学生数学解题能力的关键环节.应注重把相关的知识进行系统化与结构化,通过知识、技能、思想等层面对教学内容进行一次系统、全面的回顾与梳理,以促进学生解题思想方法的形成,提升学生的综合解题能力.本文以“解析几何中的动点问题”复习课的设计为例,对如何实现高效的专题复习谈谈自己的想法.

一、教学过程

1.激活思维

激活思维1已知∆ABC中,B(-3,0),C(3,0),AB,BC,AC成等差数列,求点A的轨迹方程.

通过课前自主研究学习,学生主要呈现两种解法：一是直接法，即设点A的坐标进行化简;二是定义法，利用椭圆的定义得出点A的轨迹是椭圆.显然，定义法比直接法更加简便、快捷.同时在该题的交流过程中，大部分学生对曲线方程的完备性，即求出轨迹方程务必要检验完备性有所遗忘.

激活思维2在平面直角坐标系xOy中,若动点P在抛物线y=2x2+1上移动,点P与点Q(0,-1)连线的中点为M,求M点的轨迹方程.

在对该题的交流过程中，大部分学生都知道用相关点法求出动点的轨迹方程,此时教师总结相关点法求动点轨迹方程的过程，即与动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上运动,将x,y表示x0,y0的式子代入点P的方程,整理关于x,y的关系式得点M的轨迹方程.

激活思维3在平面直角坐标系xOy中,设P为圆C:(x-1)2+y2=4上任意一点,点Q(2a,a-3),则线段PQ长度的最小值为______.

对于这一问题，大部分学生都运用两点间距离公式求出点Q到圆心距离的最小值，再减去半径,只有少部分学生利用消参法，求出点Q的轨迹方程为直线方程，这样最小值就转化为点到直线的距离.

设计意图激活思维1的设置意在由学生通过自主学习,理解并熟悉运用定义法与直接法求解动点的轨迹方程.很明显，当动点的轨迹方程能用定义法来求时，肯定比直接法来得便捷,因此要求学生务必熟悉高中数学中曲线的定义，如圆的定义,椭圆的定义,双曲线的定义,抛物线的定义，等等.同时该题设置提醒学生求动点的轨迹方程务必检验完备性.激活思维2的设置是让学生学会用相关点法来求动点的轨迹方程.用相关点法求动点轨迹方程时，学生务必搞清楚设哪个点为(x,y),设哪个点为(x0,y0),同时要注意x,y与x0,y0之间如何进行表示.激活思维3的设置是让学生学会用消参法来求动点的轨迹方程.从学生的课前自主学习反馈来看，学生求动点轨迹方程的意识不强,因此务必加强轨迹思想的渗透.激活思维设置的目的是希望学生通过预习，对求动点轨迹方程方法的基本经验有所积累,预设课堂教学用10分钟左右的时间让学生讲概念,讲方法,教师根据学生的回答进行适时点拨,以达到真正理解和掌握知识的目的.

2.课堂导学

例1如果圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是______.

设计意图本题是让学生学会利用定义法将求动点的轨迹方程这样问题就转化为圆与圆的位置关系,本题解法可以加深学生运用动点的轨迹思想解决解析几何中的动点问题意识,从学生的课堂的板演形式来看,学生可以较好地解决该题.

设计意图本题学生通常的解法有如上2种,解法2比解法1更直接，计算过程也更简单.从课堂讨论交流来看，大部分学生采取解法2来解决该题,说明学生运用轨迹思想解决解析几何中的动点问题有所提升.教师启发学生改编的背景是阿波罗尼斯圆,从本题的处理过程来看，改编题可以培养学生提出问题和解决问题的能力,这一能力可以使学生在创造性思维活动中,寻找知识之间的联系和区别,把握知识的本质属性,进而发现并灵活转换问题.

3.渗透思想

设计意图本题学生呈现了两种解法,虽然设点的方法不同,但解题思路是一致的,都是通过相关点法找出所设动点的轨迹方程,这就是求曲线轨迹方程问题的本质.本教学片断通过“一题多解”的方式，抽象出具有共性的的思想方法,加深了学生对相关点法求动点轨迹方程的理解.

4.自我小结

思考这节课你学到了什么?请谈谈你的收获.

设计意图利用开放性的小结,可以使不同层次的学生参与进来.有的学生对求曲线方程的概念加以理性总结，抓住了核心概念;有的学生总结了求动点轨迹方程的方法;有的学生谈到了整堂课渗透的数学思想方法，等等,学生之间互相补充，相得益彰,形成了比较完整的总结.

5.课后作业(略)

设计意图设计一组高考模拟试题,供学生课后研究,以达到实战的要求,让学生将本节课所学会的知识与方法得以巩固和发展.

二、对高三专题复习的几点思考

(1)专题复习的设定需要科学合理.在高三数学复习中，教师需要根据高中数学的重点内容、高考考纲、高考考试说明以及高考频点等，将大专题科学合理地分为若干个小专题.如本节课就是直线与圆锥曲线这一大专题下的一个小专题——解析几何中的动点问题,这样的复习比较有针对性.专题的设定需要打破知识之间的界限,加强各章节知识之间的横向联系.

(2)专题复习需要精心挑选例题与习题.每一个专题的构成元素基本是例题与习题,因此精心挑选例题与习题尤为重要.一定要明白选此题的目的是为了解决本专题的重点或难点内容,题目的创新点在哪里等等,从而更好地发挥题目的示范作用和潜在功能.题目并不在于多难,关键在于典型,通过解剖一个“麻雀”,积累经验,从而实现一类问题的解法.

(3)专题复习需要注重思想方法的渗透.本节课举的例题都可以转化为轨迹问题来处理,但题目中又没有明显指向求轨迹方程，可谓“明修栈道,暗度陈仓”.学生在解决这类问题时，往往忽视遇到解析几何中动点时考虑求动点的轨迹这一思想方法.因此教师在进行专题复习时渗透思想方法很重要.如果教师能够引领学生对试题进行主动探究,挖掘和揭示掩藏在其中的思想方法，就能实现举一反三,触类旁通,让学生跳出题海,提高复习的有效性.

(4)专题复习需要循序渐进地教.本节课通过激活思维，给学生一些台阶作为铺垫，让学生进行思维的预热,然后再进入相对复杂的例题.这样学生就不会感到突兀,感到思维混乱,而且因为前面的思维铺垫,对后续的问题也有了一定的信心.因此教师在专题复习时要由易到难、由简到繁，进行拓展与延伸.同时每道综合题都有它的根源,在讲授这类题时要找到它的根源,从简单入手,抓住问题的本质.