关于几乎m－嵌入子群的注记

高百俊　张佳　缪龙

摘要：利用子群的几乎m－嵌入性质重新刻画了p－幂零群和UΦ－超中心。以几乎m－嵌入准素子群为研究对象，采用局部化处理方法，将几乎m－嵌入准素子群分别局部化到Sylow p－子群的正规化子中和广义Fitting子群中开展研究。得到了一个刻画p－幂零群的充分条件及3个描述UΦ－超中心结构的3个充分条件。所得结论丰富了研究p－幂零群和UΦ－超中心结构的手段。

关键词：几乎m－嵌入子群;p－幂零性;UΦ－超中心;准素子群

中图分类号：O152

DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2020－02－013

A note on nearly m－embedded subgroups of finite groups

GAO Baijun1，2， ZHANG Jia1，3， MIAO Long1

Abstract：  p－nilpotent groups and  UΦ－hypercentre were investigated by using nearly m－embedded property of subgroups. Nearly m－embedded primary subgroups was took as the research object and localized to the normalizer of Sylow p－subgroups and the generalized Fitting subgroup respectively by adopting localization method. A sufficient condition of p－nilpotent groups and three sufficient conditions on the construction of  UΦ－hypercentre were obtained. The researching methods on the structure of  p－nilpotent groups and  UΦ－hypercentre were enriched by the obtained results above.

Key words： nearly m－embedded subgroup; p－nilpotency; UΦ－hypercentre; primary subgroup

本文讨论的都是有限群，涉及的术语和符号可见文献［1-2］。符号U和N表示超可解群系和幂零群系。

2009年，Shemetkov和Skiba［3］通过考虑有限群G的非Frattini主因子的G－超中心性质，定义了有限群G的FΦ－超中心，它不仅包含有限群G的F－超中心，而且是有限群G的F－超中心的自然推广。2014年，汤菊萍和缪龙［4］利用给定阶子群的M－可补性考察了有限群的FΦ－超中心构造。2016年，张佳、缪龙和汤菊萍［5］利用子群的M*－可补性对有限群的UΦ－超中心的结构进行了研究。2011年，郭文彬和Skiba［6］引入了Σ－嵌入子群、几乎m－嵌入的概念，并利用子群的几乎m－嵌入性质对有限群p－幂零性和相关群系做了一些研究。其他有关有限群的p－幂零性及群系的研究还可参考文献［7-10］。

作为以上研究工作的继续，我们将利用准素子群的几乎m－嵌入性质对有限群的p－幂零性及广义超中心的结构进行研究，并将得到一些新的刻画。

1 相关引理

参考文献：

［1］DOERK K，HAWKES T O. Finite Soluble Groups ［M］. Berlin－New York： Walter de Gruyter，1992.

［2］徐明曜.有限群导引（上）Ⅱ［M］. 北京：科学出版社， 2007.

［3］SHEMETKOV L A， SKIBA A N. On the XΦ－hypercentre of finite groups［J］.Journal of Algebra，2009，322（6）：2106－2117.

［4］TANG J P， MIAO L. On the FΦ－hypercentre of finite groups ［J］. Canadian Mathematical Bulletin，2014，57（3）：648－657.

［5］ZHANG J， MIAO L， TANG J P.M*－supplemented subgroups of finite groups［J］.Proceedings of the Indian Academy of Sciences－Mathematical sciences， 2016，126（2）：187－197.

［6］GUO W B， SKIBA A N. Finite groups with systems of Σ－embedded subgroups［J］.Science China Mathematics，2011，54（9）：1909－1926.

［7］鮑宏伟，张佳.准素子群的局部化性质对群结构的影响［J］.华中师范大学学报（自然科学版） ，2015，49（1）：21－24.

BAO H W，ZHANG J. The influence of localized properties of primary subgroups on the structure of finite groups［J］.Journal of Huazhong Normal University（Natural Sciences），2015，49（1）：21－24.

［8］TANG J P， MIAO L. A note on m－embedded subgroups of finite groups［J］. Turkish Journal of Mathematics，2015，39：501－506.

［9］张荣.Sylow子群的2－极大子群与p－幂零群［J］.西北大学学报（自然科学版），1996，26（3）：201－204.

ZHANG R.2－Maximal subgroups of Sylow subgroups and p－Nilpotent groups［J］. Journal of Northwest Normal University（Natural Science Edition），1996，26（3）：201－204.

［10］ZHANG J， MIAO L. On Mp－embedded primary subgroups of finite groups［J］.Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica，2016，53（4）：429－439.

［11］GUO W B. The Theory of Classes of Groups［M］.Berlin／New York／Dordrecht／Boston／London： Science Press－Kluwer Academic Publishers，2000.

［12］HUPPERT B，BLACKBURN N. Finite Groups III［M］.Berlin－New York：Springer－Verlag， 1982.

［13］SKIBA A N.On weakly s－permutable subgroups of finite groups［J］.Journal of Algebra，2007，315（1）：192－209.

［14］LI Y M，WANG Y M.The influence of minimal subgroups on the structure of finite groups［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，2003，131（2）：337－341.

［15］MIAO L，LEMPKEN W.On M－supplemented subgroups of finite groups［J］.Journal of Group Theory，2009，12（2）：271－287.

（编 辑 张 欢）

收稿日期：2020－01－10

基金項目：国家自然科学基金资助项目（11871062）;新疆维吾尔自治区高校科研项目（XJEDU2017M034）;西华师范大学博士科研启动项目（17E091）

作者简介：高百俊，女，河南扶沟人，博士，副教授，从事群论研究。

通信作者：缪龙，男，江苏扬州人，教授，博士生导师，从事群论研究。