零和自由半环上的e－可逆矩阵

赵晓璐　邵勇

摘要：文中研究了交换的零和自由半环上的e－可逆矩阵。通过e－可逆矩阵所具有的性质，给出了e－可逆矩阵的等价刻画。借助e－可逆矩阵、e－可逆对角矩阵及置换矩阵之间的内在联系，给出了e－可逆矩阵半群的一个确定的极大子群的半直积分解。

关键词：零和自由半环;e－可逆矩阵;极大子群;半直积

中图分类号：O151.21

DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2020－02－014

e－invertible matrices over zerosumfree semirings

ZHAO Xiaolu， SHAO Yong

Abstract： In this paper， the e－invertible matrices over commutative zerosumfree semirings are studied. Through the properties of e－invertible matrices， the equivalent characterizations of e－invertible matrices are given. The semidirect product decomposition of a certain maximal subgroup of the e－invertible matrix semigroup is given by investigating the internal relation among e－invertible matrices， e－invertible diagonal matrices and permutation matrices.

Key words： zerosumfree semiring; e－invertible matrix; matrix semigroup; semidirect product

众所周知，布尔代数、模糊代数、分配格、坡等都是交换的零和自由半环。从20世纪50年代开始，很多学者都致力于零和自由半环上可逆矩阵的研究。1952年，Luce［1］讨论了至少含有两个元素的布尔代数上的矩阵，证明了矩阵是可逆的当且仅当它是正交矩阵;1988年，Zhao［2］证明了模糊代数上的矩阵是可逆的当且仅当它是置换矩阵;1991年，Zhao［3］得到了分配格上矩阵可逆的充要条件;2004年，Han［4］等给出了坡矩阵可逆的等价刻画;2007年，Tan［5］研究了交换的零和自由半环上的可逆矩阵，得到了矩阵可逆的充要条件。2018年，Zhang 和Shao［6-7］将可逆矩阵的概念进行了推广，给出了半环上e－可逆矩阵的定义，并且研究了交换半环上e－可逆矩阵，给出其等价刻画。本文主要研究交换的零和自由半环上的e－可逆矩阵，给出交换的零和自由半環上e－可逆矩阵的一些等价刻画和e－可逆矩阵半群的极大子群中元素的基本形式，进一步得到极大子群的结构。

1 预备知识

本节将给出文中要用到的定义以及e－可逆矩阵的相关引理。

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（编 辑 张 欢）

收稿日期：2020－02－18

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11971383，11801239）

作者简介：赵晓璐，女，河南焦作人，从事半环代数理论的研究。

通信作者：邵勇，男，陕西户县人，教授，从事半环代数理论的研究。