新课标下的高中数学微课题研究———不等式恒成立问题的解题策略

成 亮

(江苏省南京市宁海中学 210024)

研究背景微课题研究是一种当下热门的数学问题的研究形式，恰逢新课程标准的颁布，不禁让笔者思考：新课标下哪些内容可以设计成微课，最终能否形成符合新课标的校本微课程？笔者所教的是一所省重点高中的高二年级理科班，在学习了导数这一章后，通过智学网进行了一次单元测试，测试结果如图：

可以看出，正确率低于百分之八十的问题就有不等式恒成立，为了突破此难点问题，笔者设计了一节微课，录制成一节微课视频，让学生通过30分钟自主学习，最后15分钟进行同题型智学网当堂检测.

一、参变量分离解决不等式恒成立问题

参变量分离，即将不等式进行等价变形，将参数与变量完全分离开来，形成以下四种形式之一：

①∀x∈A,t≥f(x);②∀x∈A,t>f(x);③∀x∈A,t≤f(x);④∀x∈A,t

例1若不等式lnx≤tx，对∀x∈(0,+∞)恒成立，则t的范围为____.

分析此题是不等式恒成立问题，首先采取参变量分离解决.

当不等式能够参变量分离时，参变量分离是解决不等式恒成立问题的首选方法.

二、构建含参函数解决不等式恒成立问题

当不等式中参数与变量没办法完全分离时，我们往往需要转变思路去构建含参的函数，形式如下：∀x∈A,f(x)>0或∀x∈A,f(x)≥0，其中f(x)是含参的函数，对参数分类讨论，只要f(x)min>0或f(x)min≥0即可.

例2若不等式x-t2≥tlnx，对∀x∈[1,+∞)恒成立，则t的范围为____.

分析此题参数t与变量x不能够完全分离开来，故将不等式移项x-t2-tlnx≥0，构建含参数t的函数f(x)，对t进行分类讨论，使得f(x)min≥0即可

(1)当t≤1时，f′(x)>0，则f(x)在x∈[1,+∞)上单调递增，f(x)min=f(1)=1-t2≥0,所以t∈[-1,1].

(2)当t>1时，当x∈(1,t),f′(x)<0，f(x)在(1，t)上单减，当x∈(t,+∞),f′(x)>0，f(x)在(t，+∞)上单增，f(x)min=f(t)=t-t2-tlnt<0与题意矛盾.

综上t∈[-1,1]

三、能参变量分离，但最值处无意义时的两种处理方法

分析此题时不等式恒成立问题，首先考虑参变量分离，不妨试一下.

处理方法一 ：用洛必达法则求极限

处理方法二 ：转变思路构建含参的函数进行分类讨论求最值

综上：a≥1.

本节课在学生学完后随即用以下四道选择题进行了学习效果的检测：

1.已知不等式ex≥ax对任意的x∈[0,+∞)恒成立，则a的取值范围为( ).

A.(-∞,e) B.(-∞,e]

C. (-∞,1) D.(-∞,1]

A.[2,+∞) B.(-∞，2]

C. (2,+∞) D.[2,+∞)

4.函数f(x)=a(x2-1)-lnx，若f(x)≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立，则a的取值范围为( ).

A.[0,+∞) B.[1,+∞)

这四道题题型与单元测试一样，其中第1，2，3三题难度与单元测试中的题难度系数相当，第4题比单元测试中难度要大很多，在此前提下得如下结果：

从此图可以看出经过半小时的微课学习，正确率有所提升，由于微课学生课后还可以反复观看学习，相信正确率的百分比会提高更多.