基于中学物理推导大学物理中功的表达式

杜忠明

[摘           要]  从中学物理中功的表达式出发，逐渐推导出大学物理中功的表达式。该方法结合作图，先推导质点沿首尾相连但是方向不同的折线段运动过程中力所做的总功，然后逐渐缩短折线段的长度，从而增加折线段的数目，令折线段数目趋向于无穷，折线就趋向于光滑曲线，从而把力在无穷多的小折线上所做功的总和过渡到大学物理中机械功的表达式上。

[关    键   词]  大学物理;中学物理;功;推导方法

[中图分类号]  G642             [文献标志码]  A                       [文章编号]  2096-0603（2020）44-0128-02

一、引言

在大学物理力学部分的教学中，关于功的教学内容是重点，同时也是难点。在大学物理中，质点沿某一曲线从P点到Q点时，力对质点所做功的表达式一般情况下描述为：

这种表达方式具有更普遍性，但是相对中学物理中功的表达方式，其跨度大，学生较难理解。因为学生习惯于处理质点直线运动情况下力对质点做功的问题，而大学力学中（1）式的这种描述已经把质点的运动推广到三维空间中的曲线运动，对于学生来说比较陌生。机械功的表达式本身可以说是属于第二型曲线积分在力学中的一种具体描述方式，但是低年级大学生学习力学中功的知识点的时候可能在高等数学课上还没有学习到曲线积分的知识。分为四册的高等数学（物理类专业用）把曲线积分安排在第二册中，分为上下两册的高等数学也把曲线积分安排在下册中。普通院校物理学教育专业的学生一般情况下在大一上学期就学习力学教程，学习到功的时候高等数学中不可能学习到曲线积分，一部分非物理学教育专业的学生也在大一学习大学物理学，这时候也不可能学习到曲线积分。对于基础和学习能力相对较差的二本院校学生来说，在没有一定数学基础的情况下直接接受（1）式是存在困难的。论述中学物理教材中功的教学方法的文献比较多，但是大学物理中对功教学的讨论还很缺乏。如果用简单有效的教学方法让学生尽量避开对高等数学的依赖，那么学生对大学物理中功的理解还是能够得到加强，知识点的难度也可以得到化解。

二、知识点和推导方法分析

低年级大学生的思维由于受到中学物理思维的影响，在一定程度上仍然停留在中学物理的学习模式中，因此习惯于只在直线运动中处理力对物体做功的表达式，难以把质点的运动扩展到三维空间的曲线运动中。从理论上来说，质点沿一段曲线运动的过程可以看成是把运动过程分成无数小段，这些小段上近似看成力的大小和方向不變，小线段也可以看成是直线。所以基于这个原理，把质点沿某曲线运动过程中力所做的功看成是全部小曲线上力所做功的总和。从积分的角度出发，这些小线段上力所做功的总和就是积分，用积分式子表示。如果教师只是口头讲述这种理论，在黑板上画出某一曲线，并在曲线上标出力的示意图，然后直接把（1）式列在黑板或多媒体上，那么对于没有学习过曲线积分以及基础相对较差的二本院校学生来说，（1）式这种功的表达方式难以理解，从而影响到关于机械功的问题的处理能力。

为了加深学生对（1）式的理解，教师应该从学生在中学学习的知识点出发，结合力在不同的路径上对质点所做的功可以相加这一要点把质点运动路线逐步变化，问题就能得到比较好的解决。所以质点在曲线上运动过程中力对质点所做功的表达式可以通过下列步骤进行推导。

学生应该理解存在力和在力的方向上产生位移是做功的条件，所以教师可以按照常规的方式对中学阶段力对质点做功的知识点进行回顾，首先在黑板上作图1所示的示意图，并进行复习和推导。

结合如图1（a）分析，直线上的质点在力的作用下从P点到Q点，其特点是质点受力方向和质点发生的位移PQ方向相同。质点在P到Q过程中力所做的功是

APQ=F·PQ    （2）

接着教师复习力对质点做功的形式为力和质点发生的位移之间有一个夹角θ的情况，如图1（b）所示。这种运动的特点是要求力在发生位移时质点做直线运动，而且在运动过程中力的大小和方向都不发生变化。质点在P点到Q点的过程中力所做的功是

APQ=F·PQcosθ   （3）

学生在中学已经学习过向量的数量积，所以教师可以接着说明衡量力对质点做功的公式（3）可以表示成为力和位移矢量之间的标量积，写成

教师提出，如果质点从P点到Q点的过程中不在一条直线上运动，而是经过了若干条首尾相连的直线，这时如何处理力对质点所做的功。然后画图2所示的示意图，提出质点从P点到Q点的过程中运动路径由于某种原因分成了PM1、M1M2和M2Q三段路线，在这三段直线中力和运动方向之间的夹角分别为θ1，θ2和θ3。则整个运动过程中力对这个质点所做的总功应该表示成为这三段直线上所做的功之和，即

APQ=A1+A2+A3=F·PM1·cosθ1+F·M1M2·cosθ2+F·M2Q·cosθ3

（5）

或者表示成为

到此为止学生还是比较熟悉的。这时候教师接着在图2的基础上把图中的三段位移各分成不同方向的更短的六段位移，如图3所示，引导学生推导出质点从P点到Q点的过程中折线上力所做功的总和为

教师继续提出，在图3的基础上折线段的数目进一步增加的情况下，如何表示质点从P点到Q点力所做的功。然后在图3的基础上继续增加小折线，效果如图4中的折线所示。强调图4相对图3来说只是增加了小折线的数目，每一段小折线内力所做功的表达方式是相同的，所以质点从P点到Q点的整个过程中力所做的功是

当所分的线段数增加到很多后折线的形状逐渐趋向于光滑的曲线（如图4所示，在折线段旁边画一条曲线）。当小折线段趋向于无穷多时可以认为小折线上力所做功的总和与曲线上运动时力所做的功趋向于相同了。这时把（8）式中的有向线段统一写成d■，每一段小线段内力所做的功表示成为dA，则（8）式改写成为

当有向线段数趋向无穷时，（9）式可以改写成另外一种表达方式，记为

此式就是（1）式。整个过程中遵循的原则是，从学生熟悉的力在直线上做功的表达式出发，把力在各小线段内所做的功相加，把折线段的数量增加到无穷，利用另一个式子（即积分式）表示这种相加的关系，就是力在曲线上对质点所做的功。为了使学生加深从P点到Q点力所做功的表达式的这种变化，可以把上述各图和相对应表达式的变化利用动画的形式在多媒体上展示给学生，作为对质点做功表达式的小结。

三、小结

大学物理教学课件中也提到把曲线分成若干段小曲线的示意图，但是这种示意图中，各段小曲线对于学生来说仍然不够直观，（1）式的得出还是显得较为抽象。本文提出的推导方法和中学知识结合紧密，在每一步推导过程中都使学生保持清晰的物理模型，并且几乎不受高等数学基础知识的干扰，易于被学生理解和接受，从而使学生从已经具有的中学知识点出发，顺利过渡到大学物理知识的学习。

参考文献：

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[5]郭友波，张萱.思维可视化方法应用于高中物理教学的研究：以《功》教学为例[J].湖南中学物理，2016（2）：6-8.

◎编辑 司 楠