由一道三角函数求值题引发的思考与探究

黄仿青

五、启示

1.三种类型。通过上述探究我们发现，在诸如此类的三角形中的三角函数求值问题，可归结为以下三种类型：类型一：在中，已知其中两个角的余弦值，求第三个角的余弦值;类型二：在中，已知一个角的正弦值和另一个角的余弦值，求第三个角的余弦值;类型三：在中，已知其中两个角的正弦值，求第三个角的余弦值。

这三种类型的难易程度有较大区别，类型一较为简单，已知其中两个角的余弦值，则它们的正弦值唯一确定，因此，类型一有唯一解。例如，在中，已知，求。此题有唯一解，有兴趣的读者不妨一试。

类型二较为复杂，它由所给的正弦值和余弦值的不同，会出现唯一解和两解的情况。如例1有一解，而例2却有两解。類型三相对来说属于最复杂的一种情形，它由已知两个角的正弦值，得出余弦后，会出现四种情况，在取舍时，运用法三和法四较为快捷。

2.各有千秋。法一为基本方法，但要求学生对特殊角的三角函数值及不等式的变形较熟练;法二从正弦着手另起炉灶但不易想到;法三数形结合直观明了，但对学生读图、识图能力要求较高;法四简单快捷但需要由正弦定理所得出的结论作支撑。对于高一学生而言，由于知识的局限性，只能运用法一、法二和法三进行取舍，但从全局来看，法四无疑最为简捷，而法三最能体现本质。四种取舍方法各有千秋，它们在培养学生思维能力方面发挥着各自独特的作用。

3.用心良苦。我们还看到，三种类型的问题，类型一较简单，其运算结果唯一确定，类型三有四种情况较为复杂，而类型二的难度介于类型一与类型三两者之间，学生跳一跳就够得着，对学生思维能力的培养恰到好处，而高中数学必修四（人教版）第137页的这道求值题正是属于类型二，可见教材的编写者是多么的用心良苦，为教材编写专家点赞。