基于时滞滤波的周期信号跟踪性能优化控制方法

□ 肖博魁

上海交通大学 机械与动力工程学院 上海 200240

1 研究背景

运动控制系统在跟随周期信号指令时,响应对周期信号中不同频率成分形成了不同程度的相位滞后,这些相位滞后会影响系统的跟踪性能,严重时甚至会使实际响应波形完全失真。

为实现系统对周期指令信号跟踪的高精度、高灵敏性,逐渐发展形成了一些控制方法，如高性能状态闭环控制[1]、自适应控制[2]、神经网络自调节[3-4]等。这些控制方法对控制系统信号采集和运算性能的要求很严格,在一些对体积要求高、对成本敏感的应用场合难以得到应用。时滞滤波控制器则对控制系统要求简单，兼具良好的控制性能,在以上场合有很好的应用前景。

1952年,Calvert[5]发现利用部分输入延迟能够有效消除系统的残留振动。1990年，Singer和Seering[6]改进了这一方法的鲁棒性,提出了时滞滤波器。在此之后,这一方法在信号跟踪领域得到了广泛应用和发展[7]。笔者提出基于时滞滤波的周期信号跟踪性能优化控制方法,并结合数值仿真和试验验证有效性。

2 系统模型与约束方程

对于系统模型，有离线或在线辨识方法,辨识结果传递函数G(s)为：

(1)

式中：s为拉普拉斯变换复数参数；s1、s2、…、sm为系统极点；Ps为传递函数的相关系数。

对于系统的周期激励信号,经傅里叶级数展开，可得到信号中的主要频率成分，于是有：

Uexpect=a0+a1sin(ω1t)+a2sin(ω2t)+…

+alsin(ωlt)

(2)

式中：Uexpect为周期激励信号；ω1、ω2、…、ωl为傅里叶谐波频率；a0、a1、…、al为傅里叶级数因数；t为时间。

时滞滤波控制器TD(s)为：

TD(s)=A0+A1e-sT1+A2e-sT2+…+Ane-sTn

(3)

式中：T1、T2、…、Tn为时滞时间参数；A0、A1、…、An为时滞项参数。

时滞滤波控制原理框图如图1所示。

系统跟踪周期信号要求满足以下两个约束条件:① 对于激励信号各频率成分处的响应幅值为1,相位角为0°或360°;② 系统的主极点消除,加快残留运动的衰减[8]。

对于激励频率成分ωk,要求系统响应的幅值和期望信号一致,并且相位一致。令s=iωk,可以得到约束方程为:

|A0+A1e-iωkT1+A2e-iωkT2+…+Ane-iωkTn|=

(4)

∠(A0+A1e-iωkT1+A2e-iωkT2+…+Ane-iωkTn)=

(5)

通过实部和虚部两部分表示，有:

A0+A1cos(ωkT1)+A2cos(ωkT2)+…+

Ancos(ωkTn)=real[G(iωk)]

(6)

A1sin(ωkT1)+A2sin(ωkT2)+…+

Ansin(ωkTn)=imag[G(iωk)]

(7)

根据零极点相消原则,得到约束方程为：

(8)

对于一个已知的系统,分析其极点的分布情况,包括两部分:关于实轴对称的一组共轭极点，在实轴上的负实数极点。

由于系统极点的情况不同，约束方程有不同的表示形式。

对于共轭极点,约束方程组通过实部和虚部两部分表示，有：

A0+A1e-aT1cos(bT1)+A2e-aT2cos(bT2)+…+

可以对科研人员采用灵活的管理方式，支持科研成果持有人自主创业、鼓励兼职，甚至可以允许一定期限的带薪离岗创办企业，进行成果的转化，并为其提供各种便利和支持。建立容错机制，在离岗的期限内为其保留人事关系，若创业失败还可以回原单位继续工作，这样可以大大解除创业者的后顾之忧，让他们可以专心、放心地去创业。支持科研人员与企业合作，根据企业的实际需求来开展科研开发，提高成果的转化成功率。

Ane-aTncos(bTn)=0

(9)

A1e-aT1sin(bT1)+A2e-aT2sin(bT2)+…+

Ane-aTnsin(bTn)=0

(10)

(11)

(12)

式中：s+、s-分别为共轭极点中实轴以上和实轴以下的极点。

对于负实极点,约束方程组不需要通过实部和虚部两部分表示，可以简单表示为：

A0+A1e-s0T1+A2e-s0T2+…+Ane-s0Tn=0

(13)

式中：s0为对应的负实数极点。

(14)

(15)

这一约束方程组只选取主要极点，是基于两个方面的考虑。

第一，主要极点表征了响应误差衰减最慢的成分,消除主要极点可以极大改善系统的响应性能,次要极点对系统响应提升的影响不明显。

第二，约束方程联立后,线性方程组的因数为关于极点的指数函数。当系统两极点相差较大时,因数矩阵的条件数过多,得到的数值解会严重畸变,相应的时滞滤波控制器没有实际应用价值,因此约束方程中不考虑次要极点。

综合式(6)、式(7)、式(14)约束条件，得到新的约束方程组为:

(16)

周期信号主要频率成分有k3个，为ωm1、ωm2、…、ωmk3。

3 算法稳定性与抗干扰能力

时滞滤波控制算法的可靠性依赖于系统模型的准确辨识,系统模型在存在辨识误差及一些时变干扰因素的情况下,需要充分考虑控制系统的可靠性和稳定性。

系统引入全闭环比例积分微分算法，强化控制方法的鲁棒性。时滞滤波+比例积分微分控制原理框图如图2所示。

4 电机模型分析

永磁同步电机内部电磁力微分方程为:

(17)

式中：Sc为速度常数；τc为力矩常数；ω为电机角速度；I为线圈绕组电流；τ为输出力矩；ξ为电机阻力矩；M为电机转子转动惯量；R为绕组电阻；L为绕组电感；U为输入电压；u为感应电动势。

拉普拉斯变换后，有:

(18)

整合后，得到系统二阶传递函数为:

(19)

电机参数见表1。

表1 电机参数

依据厂家的电机相关数据，可以推算出电机的速度电压传递函数属于二阶系统，为：

开环阻尼比为2.04。

电机外扩连线、机构阻尼非线性变化等因素会使电机实际的传递函数比较复杂,因此还是需要进行系统辨识，以更准确地把握系统特性。

5 辨识方法与结果

5.1 辨识方法

系统辨识时，根据系统的输入输出时间函数,确立能够表征系统特性的数学模型,并能够根据这一模型预测系统的响应行为,进而辅助设计控制器。

系统辨识方法包括阶跃响应法、脉冲响应法、频率响应法、相关分析法、谱分析法、最小二乘法、极大似然法等[9]。

各种辨识方法对系统的输入信号都有一些共性要求，具体包括:① 输入信号能够充分激励系统的所有模态;② 输入信号不能有明显周期性；③ 输入信号幅值满足系统一直工作在线性区。

5.2 辨识结果

鉴于最长线性反馈位移寄存器序列(M序列)的易实现和长周期特性,辨识过程采用的激励信号选择15级M序列。

15级M序列递推公式为:

Q=Q1⊕Q15

(20)

式中：Q为单位寄存器；Q1为第1位移位寄存器；Q15为第15位寄存器。

借用MATLAB软件中的系统辨识工具箱,选用Levenberg-Marquardt法对试验占空比-电机角度进行三阶传递函数拟合,相似度为95.49%。由辨识结果得到占空比-电机转速传递函数为:

(21)

6 仿真分析

以速度为输出，系统为过阻尼二阶系统,两实极点s1为-2.072 3，s2为-348.350 9,选取T=π/ω0作为时滞滤波控制基础时间参数,选用的第n个时滞参数Tn=nT,使用最小二乘法求得数值解。

6.1 单一频率10 Hz正弦跟踪

约束方程为:

(22)

使用最小二乘法求解式(22),得到时滞项参数A0为0.144 1，A1为0.307 9，A2为-0.431 6，时滞时间参数T1为0.016 9,T2为0.033 9。

10 Hz正弦波跟踪仿真模型如图3所示，时滞控制正弦速度跟踪仿真曲线如图4所示，10 Hz正弦波跟踪仿真结果如图5所示。

由图5可见，前期只有部分输入时滞误差会较大,稳定后误差阈值在5×10-4rad/s范围内。

6.2 方波三阶傅里叶级数跟踪

时滞项参数见表2，时滞时间参数见表3。

表2 时滞项参数

表3 时滞时间参数

方波三阶傅里叶级数跟踪仿真模型如图6所示，时滞控制方波三阶傅里叶级数速度跟踪仿真曲线如图7所示，方波三阶傅里叶级数跟踪仿真结果如图8所示。

7 试验验证

7.1 试验平台

使用双对极无刷直流电机和配套减速器作为控制对象,上游厂家的16位霍尔传感器为电机控制提供位置信息，并输出控制结果。使用CYCLONE3系列现场可编程门阵列和TMS320F28335芯片搭建控制器。现场可编程门阵列通过串行外设接口获得霍尔传感器位置信号,信号每50 μs传递一次至数字信号处理器,在数字信号处理器内进行差分，获取速度信号,进行控制算法计算。计算结果传送至现场可编程门阵列,实现脉冲宽度调制波形的生成,通过由金属-氧化物-半导体场效应晶体管组成的驱动电路实现电机的控制[10-11]。输入信号和输出信号由数字信号处理器通过控制器局域网总线协议发出，由计算机端接收,使用MATLAB软件进行数据处理。试验平台如图9所示。

7.2 试验结果

采用与仿真部分相同的时滞滤波控制器参数,相位偏差得到明显改善,跟踪精度得到显著提升。使用比例积分微分控制方法，减小外界干扰对运动控制的影响,跟踪性能得到进一步提升。

对于10 Hz单频率速度跟踪，时滞控制正弦速度跟踪试验曲线如图10所示，时滞控制+比例积分微分控制正弦速度跟踪试验曲线如图11所示，10 Hz正弦波跟踪试验结果如图12所示，正弦速度跟踪试验数据见表4。

表4 正弦速度跟踪试验数据

对于方波三阶傅里叶级数速度跟踪，时滞控制方波三阶傅里叶级数速度跟踪试验曲线如图13所示，时滞控制+比例积分微分控制方波三阶傅里叶级数速度跟踪试验曲线如图14所示，方波三阶傅里叶级数跟踪试验结果如图15所示，方波三阶傅里叶级数速度跟踪试验数据见表5。

表5 方波三阶傅里叶级数速度跟踪试验数据

8 结束语

笔者通过理论推导、算法设计、仿真分析和试验验证,提出了基于时滞滤波的周期信号跟踪性能优化控制方法,可以有效提高系统的跟踪精度。配合比例积分微分反馈闭环控制，以应对系统模型误差及外部干扰,保证系统的稳定性。试验结果表明,这一控制方法能在很大程度上改善系统对周期信号的跟踪性能,并且对于控制系统要求较低,具有一定的应用前景。