探讨利用平面向量解决三角函数问题

刘传富

摘  要：高中作为学生学习与成长过程中至关重要的转折阶段，是学生升入大学之前的关键时期。因此在高中教学阶段教师一定要注重学生文化素养的提升，同时也要保证学生心态的平和，通过一定的教学方法提高学生的解题效率，降低学生的学习难度，帮助学生减少学习压力。在高中教学体系中，数学是一门重要且逻辑性强的学科，在数学学科中很多知识点都是相互联系的。基于此，本文针对利用平面向量解决三角函数问题进行一些探讨。

关键词：平面向量;三角函数问题

引言：在高中教育体系中，数学是一门逻辑性较强的学科，同时学生学好数学也能够解决很多生活中的实际问题，因此需要学生具备一定的逻辑思维与自主学习能力。平面向量是数学中重要的概念与工具，与很多数学问题都有着密切的联系，其中就包括三角函数。因此学生应能够准确掌握平面向量与三角函数之间的关系，并且通过一定的转化，帮助理解平面向量与三角函数之间的一些关系，并通过平面向量简化三角函数问题的解题环节，提高学习效率和解题正确度。因此将平面向量与三角函数问题进行结合式思考，也是教师应该教给学生的重要内容之一，这对于学生提高数学解题效率、降低学习压力有着重要的帮助。

1.利用平面向量夹角解决三角函数问题

想要利用平面向量来解决一些三角函数的问题，首先教师要引导学生明确三角函数的基本内涵，三角函数中包括哪些知识点等。通过研究发现平面向量的夹角这一概念可以与三角函数中一些知识点进行转化和重合，因此利用平面向量的夹角问题来解决一些三角函数问题是有效研究课题的关键。

例题：在▲ABC中，三边长分别为AB=7，BC=5，AC=6，则向量AB·向量BC=？

解析：这道题可以根据三角函数中的余弦定理得出cos B=49+25-36/2x7x5=19/35，之后可以根据平面向量和三角函数的相关知识进行解答。

从这道题目中可以看出，平面向量的夹角与三角函数中的∠ABC的补角有所关联，也就是说本题所要求的向量AB和向量BC的夹角其实是∠ABC补角的大小。这样看来就可以比较清晰地分析出题目中相关条件之间的联系，从而提高解题效率。需要注意的是，教师要强调三角形内角与平面向量夹角之间的联系。

2.利用平面向量坐标运算解决三角函数问题

在高中数学解题计算中三角函数的相关问题是高考中的重点和难点之一。平面向量是依托坐标运算来开展教学的知识点之一，因此借助平面向量中坐标运算的相关方式对于解决三角函数问题有著重要的帮助。

例题：已知向量a=（1，2sin θ），向量b=[sin（θ+Π/3），1]，（θ∈R），求若向量a 垂直于向量b，求tan θ的值。

解析：该题目中所要求的是以向量a 垂直于向量b为前提，因此这就会运用到平面向量中坐标的相关知识。在利用平面向量解决三角函数问题的过程中，向量坐标只是一个基础，在此基础上需要引导学生进行向量积之间的关系，并将此进行结合与转化。通过一些不同向量坐标运算的方式作为此类三角函数题目的突破口，帮助学生降低解题难度，提高解题效率。

3.利用平面向量基本定理解决三角函数问题

明确平面向量的基本定理是解决三角函数问题的基础，因此教师一定要先帮助学生明确平面向量的基本定理和数学概念。学生只有将这些定理与概念充分掌握，再通过灵活的变通，才能将其运用于三角函数问题的解决中，帮助学生提高解题效率。

例题：在▲ABC中，若|向量AC|=2，且向量AB·cos C+向量BC·cos A=向量AC·sin B，求∠B的大小。

解析：这道题目的突破口在于学生必须要明确平面向量的基本定理，并且将其与三角函数的相关知识进行结合。学生需要对平面向量和三角函数的相关题型灵活地变通。这就需要平时教师多带领学生练习相关习题，找到平面向量基本定理与三角形角度之间的关系，以此来帮助学生提高此种类型的解题效率。

4.利用平面向量与三角形相关的性质解决三角函数问题

在明确平面向量的基本内涵之后，教师也要引导学生明确三角形一些相关性质，在两者之间寻求共同点。学生一定要找到平面向量与三角型之间相关的一些性质，借助一些相关联的知识点来解决三角函数问题，而不是处于盲目利用的状态。

例题：在▲ABC中，若∠A=60°，AB=4，AC=1，D是BC的中点，则AD的长为多少？

解析：这道题的解题关键就是教师要引导学生找到三角形中的某一个性质，将其与平面向量中的某一性质进行联系，找到两个知识点中性质相同的地方，并且将其三角形中线的平面向量性质，向量AD与三角形的面积公式进行转化，从而求出此道问题的答案。

结束语：

综上所述，近年来纵观新课程改革的不断推进，社会各界对于高中教育体系的质量与要求越发提高，其中平面向量与三角函数问题之间存在着诸多联系。因此教师要引导学生通过平面向量的相关知识来解决各种类型的三角函数问题，帮助学生解决高考中这一重要的考点，提高学生的高考自信心，为学生今后的学习与成长奠定坚实的基础，同时这也是保障高中教育体系整体性进步的有效途径。

参考文献：

[1]孙恒来. 平面向量与三角函数的交汇[J]. 语数外学习（高中版中旬），2013（2）.

[2]乔全福. 平面向量与三角函数综合问题探析[J]. 数学学习与研究：教研版，2014（15）：103-104.