反思——提高数学素质的有效途径

孙建荣

在数学教学过程中，想要尽快提高学生的数学素质，培养学生的学习能力，首先要有良好的学习习惯，听课时要处理好听、思、说、记的关系，及时复习，还有非常重要的一点，要注重解题反思。数学能力的提高离不开做题，但解题后的反思更重要，与其匆匆忙忙的抢做两张试卷，还不如深入透彻地掌握一张试卷，追求解题质量，好好反思每一道题。新课标明确要求引导学生积极探索经历反思过程，提高数学思维能力。解题后需要反思哪些问题呢？根据学生实际，主要有以下几个方面。

一、反思解题本身是否合理和正确

1.题目做好以后，反思结论是否符合实际，切忌结论荒谬，出现像这种卫星离地面的最远距离为3cm的情况。

2.检查是否笔误或概念不清。笔误在做几何证明题时经常会出现，在用三个字母表示角时，切记字母写错，因此在几何证明题做好以后，要从头到尾再检查一遍。还有一些中差学生概念不清，如：函数的自变量x的取值范围为_________。有很多学生答案为x≠0，把分母不为0，误认为x≠0。

3.是否审题不仔细或忽视了隐含条件。

例1.(1)Rt△ABC的两边分别为3和4，则斜边长为

(2)Rt△ABC的两边分别为3和4，则第三边长为

很多学生把这两题混淆起来，数学语言的表达是十分准确并具有特殊意义，对于题目中的每一个字，每一个符号，每一句话都要进行斟酌，把隐含在条件中的某种关系挖掘出来。

例2.在较长一段时间内，每天都有一艘轮船从甲地开往乙地，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从乙地开往甲地。两地轮船在途中来去的时间都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一航线上，则每一条从甲地出发的轮船直到抵达目的地，共将会遇到对面开来的轮船几艘？

分析：大多数学生考虑每天开出一艘轮船，7 昼夜开出7 艘轮船，故将遇到7 艘；也有的学生认为轮船到达乙地时恰逢第八天起航的轮船，故将遇到8 艘；从而忽略了“在较长的一段时间内”这个隐含条件。事实上，甲地开出的轮船最早遇到的不是当天同一时刻乙地开出的轮船，而是在这之前乙地开出的轮船(正确答案是15艘)。

4.运算是否正确

对于计算类型的题目，做完以后一般要再验算一遍。很多学生都会出现算了两遍，甚至3遍，出现同一个答案，以为正确。试卷一发下来，才恍然大悟，这是由于思维定式的影响，我们应从不同的角度进行验算。

5.以特殊代替一般

如在中学数学的几何证明题中，一些学生画特殊图形代替一般图形，造成证题推理无根据。

例3.在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一点，E是AC上的任意一点，AD=AE，求证：∠BAD=2∠EDC。

错误证法：假设D是BC的中点，

∵AB=AC

∴AD⊥BC，AD平分∠BAC

(等腰三角形三线合一)

令∠BAD=α，则∠DAC=α

∵AD=AE(已知)∴∠ADE=∠AED

∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°

∴∠ADE=(180°-∠DAE)=(180°-α)=90°-α

∴∠EDC=90°-∠ADE=90°-(90°-∠BAD

上述5个方面是解题后该反思的基本问题，考试时如此，平时更应如此，学生应养成解题后反思的良好习惯。事实上，有不少学生只满足于一知半解，解完了事，不假探索回顾，任其漏洞百出。

二、反思一题多解和多题一解，提高综合解题能力

数学知识有机联系，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，通过探求一题多解，寻找最优的解题方法，拓宽学生的发散思维能力。

例4.求一次函数y=3x-1于y=-3x+5的交点坐标。

分析：可以利用图像法解，也可以利用求方程组的解得出。不同的解法既可以揭示出数与形的联系，又沟通了几类知识的横向联系。

例5.如图，∠1=∠5，∠3=∠4，

∠2=∠6，求证AD∥BC。

证法一：∵在△ABF中，

∠2+∠3+∠AFB=180°

在△AED中，

∠6+∠4+∠5=180°

∵∠2=∠6，∠3=∠4

∴∠AFB=∠5

又∵∠5=∠1，∴∠AFB=∠1

∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)。

证法二：∵∠2=∠6

∴AB∥CE(内错角相等，两直线平行)

∴∠EAB+∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)

即∠2+∠5+∠4=180°

∵∠5=∠1，∠4=∠3

∴∠2+∠1+∠3=180°，即∠2+∠ABC=180°

∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)

上述两种方法，中差生普遍采用前一种证法，可见前一种证法较具体，学生易掌握。

多题一解可以培养学生化归思维，使学生觉得书“越读越薄”，学习能力越来越高，体验到学习的轻松愉快。

三、积极反思，系统小结

反思题目能否变换引申，改变题目的条件，会导出什么新结论；保留题目的条件，结论能否进一步加强；条件作类似的变换，结论能否扩大到一般；思维方法能否迁移。

例6.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=DC，求证：∠B=∠C。

变形：已知梯形ABCD中，AD∥BC，

AB=DC，∠B=60°，AD=15，AB=45，

求BC的长。

分析：该题主要思路是平移腰将梯形分成等腰三角形和平行四边形。结合平行四边形及正三角形的边长特征来解决问题。通过变形，使学生进行全方位的思考，这常常是学生发现新知识、认识新知识的突破口。

例：求证顺次连接四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形。

分析：此题除了要反思一题多解，还可以将题设变换为特殊的“平行四边形”“矩形”“菱形”“正方形”等情况，以有助于开拓学生的解题思路，让学生思维插上想象的翅膀。

培养学生解题能力的途径和方法很多，但无论哪种途径和方法，最根本最相通的是离不开思维的训练。注重题后反思，在寻找错误原因中享受成功，力求相同的错误不犯第二次，优化解题过程，寻求最佳解答方法，举一反三，触类旁通，融会贯通，重视渗透和揭示基本的数学思想方法，使学生经历探索的过程，体验如何用数学思想方法分析和解决问题，培养学习的能力，在学生的心灵中撒播“善于思考”的种子，搭建可持续发展的平台。