技能的习得与掌握：聚焦结构、原理与本质

朱洁芬

摘  要：“角的度量”是小学数学技能习得与掌握中公认的学习难点。主要问题还是源于理解的肤浅与狭隘，仅仅关注操作程序的记忆。小学数学中技能的习得与掌握，需要聚焦其背后赖以支撑的知识结构、数学原理乃至哲学本质。可以通过巧织结构、妙联原理、直通本质等策略，揭示其背后蕴藏的测量结构、测度原理、数学本质等，促进技能的大跨度迁移、规则的自主建构与深度反思等，从而让技能习得与思维培养同步推进。

关键词：角的度量;巧织结构;妙联原理;直通本质

“角的度量”是小学数学技能习得与掌握中公认的学习难点。相对于长度、面积的测量来说，由于经验缺乏，加之工具和方法也比较复杂，学生常常不能真正掌握其要领，学习效果很不理想。

笔者在对“角的度量”教学进行研究时，发现上述问题主要还是源于理解的肤浅与狭隘，即仅仅关注有关操作程序的记忆，忽视了相关规则的深度理解。笔者认为，该技能的习得与掌握，需要聚焦其背后赖以支撑的知识结构、数学原理乃至哲学本质。该技能的深度学习，可以从以下几方面入手。

一、巧织结构促迁移

对于“角的度量”教学来说，难点很多，如单位、工具、方法等。就有可能要仔细思考，到底在哪个点上着力才能取得牵一发而动全身的效果呢？对此，不同的教师有不同的实践。有的认为工具特别，着力于工具的理解;有的认为单位重要，着力于单位的建构;有的认为程序复杂，着力于规则的记忆，等等。然而，从现场效果来看，这些尝试似乎都不尽如人意，多数教得很费力，学得也很吃力，面对变式时更是不知所措。

不久前，笔者观看了福建林宏滨老师关于“角的度量”的教学视频，不禁让笔者眼前一亮。林老师首先在黑板上给学生出示了一组图形：一条线段、一个长方形、一个锐角，让学生依次说出它们的名称。然后指着线段图提问：要知道它的长度是多少怎么办？在学生回答“用尺子量”后，随即在黑板上板书：量。不过，接下去林老师并未出示直尺，而是呈现了一个1分米的线段教具，在未知线段上量了4次，得到4分米的结果。以此类推，又用1平方分米的教具在未知长方形上测量了3次，呈现3平方分米的结果。接着面临角的时候，学生很快知道角的大小同样需要“量”。在林老师要求学生比画出单位的时候，大多数学生都比出了角的形状，还能借助老师提供的10度小角轻松估测出一些整十数角的大小，有的还主动联想到用量角器去测量验证。更令人惊喜的是，在后续使用量角器的过程中，大多数学生还能自主否决顶端对齐的摆法，总结出“二重合”的规则。

“角的度量”之所以成为学习难点，是因为学生日常生活中对角的度量的经验很贫乏，而从线段度量到角的度量的跨度又比较大。上述教学在没有揭示角的度量单位、工具与规则的前提下，学生能自主类推、修正、建构，其实是源于林老师教材处理的结构化意识，将过去所学的线段测量、面积测量等看似很不相关的规则，基于“测量”背景，重新组织成一个有序的结构，同时辅以精心选择的教具和精心设计的提问，让学生感受到各种“量”不再是一个个孤立的技巧，而是一个有着内在统一的结构，正是这种结构的编织与显性化，促进了数学技能的大跨度迁移。

二、妙联原理建规则

著名数学教育家张奠宙教授在谈长度测量问题时曾经指出，测量不仅仅是拿刻度尺去量一条线段的长短（那属于物理学范围），数学测量的本质是给每一条线段以合适的数;这个数的指定方法必须满足“有限可加性”“运动不变性”和“正则性”三个条件。这就是现代数学中的测度理论。张教授认为，数学意义下的测量过程，虽不必把测度论的那一套搬到课堂上，但应该想方设法把这一套思想方法深入浅出地呈现出来。否则，不能算是理解了测量的数学本质。可喜的是，张教授的倡导正进入“数学教学圈中人”的视野。

我们不妨还是来看看林老师的教学。在认识角的单位时，他把一个周角平均分成了36份，得到36个10度小角，其中第1份小角又被分成10个1度的小角。在学生认识1度的角以后，林老师指着由10个1度组成的角，让学生说说这个角是多少度。第一位学生明显遇到了困难，其他学生经过长时间的思考，终于认识到这是10度。不过深谙测度论的林老师知道这是引导学生认识“有限可加性”的时机，于是追问：为什么是10度？引导学生理解这是因为它是由10个1度累加起来的。接着林老师引导学生逆时针观察36份中的第4份小角（尚未像第1份那样被分成10个1度小角），让学生说说这个角是多少度，结果学生遇到的困难更大了，不少学生认为这是40度！为了让学生理解更为深奥的“运动不变性”，林老師改为让学生做选择：这个角到底是40度还是10度？学生们豁然开朗：它还是10度，仍然是由10个1度角累加起来的，只是相当于第一份10度的小角移动了位置而已。

接下去林老师将上面背景中第一份10度小角留下，在它的左上方另呈现一个30度的角，基于上面的测量结构的启发，学生很快知道可以用10度小角去量，很容易看出它有3个10度，所以是30度。然后，林老师让学生估计黑板上最先呈现的那个锐角，学生也能轻松想到用10度小角去量，有的还想到了用量角器。于是林老师让学生简单认识了一下量角器，就让学生自己尝试量角了。

根据课堂巡察，林老师选择以下两种通过投影同屏呈现：第一种是角的顶点对准0度刻度线左端的;第二种是标准量法。先让学生自主比较、做出判断、说明理由。虽然学生对量角器很不熟悉，但借助10度小角这一独特的测量工具和对“有限可加性”的理解，很多学生居然能很轻松地发现第二种量法是正确的，有的还能对标准量法进行一些零星总结：比如角的顶点与量角器的中心重合，零度刻度线与角的一条边重合，测量的结果要注意在内外圈中选一个，等等。至于为什么要这么做还说不太清楚。

接下去林老师呈现“二重合”背景下向左或向右开口的40度、120度、130度等大小不同的整十数度数的角，学生都能轻松应对，并借助10度小角进行解释。随着速度的加快，学生不得不扔掉10度小角的协助，直面两圈读数的选择……终于有学生出错了！不过，借助10度小角，他们还是能很快自主解释错误的理由并修正。有学生还找到了选择的窍门——看用的是哪条0度刻度线。

最后，林老师让学生用量角器独立量一个110度的钝角，大部分学生都能量对，但有一个学生量出了140度！不过，立即有学生发现：这种量法也是可以的！只是这种量法还要减，不够简便;只有“二重合”才是最简便的。于是，学生又理解了即使使用量角器量角，方法也可以是多样的。

林老师“四两拨千斤”的教学让我们发现，有测度原理打底，无须先认识量角器再去量角，二者完全可以同步推进，相辅相成，最终实现量角器的自主认识和量角规则的自主建构，实现教学效率的显著提升。

三、直通本质启哲思

“角的度量”教学是否还有更高的境界？在数学教学期刊上，笔者看到浙江的俞正强老师作为“数学教学圈中人”的高手，为我们做过一次极为与众不同的尝试。

在引入阶段，俞老师出示了下面五个角的图形：0度、45度、90度、135度、180度，从小到大依次编号排成一行予以呈现，每个角还刻意凸显了它们的顶点和边。先引导观察：哪个角最大？哪个角最小？再引发思考：如果用一个数来表示每个角的大小，你会用哪个数来表示？基于熟知的特殊角的引领，学生居然能轻松完成“赋形以数的创举”。

接着，让所有人想不到的是，俞老师还给出了下面的问题：“②号角”用10度表示可以吗？超越常理的提问，迅速激起了思维的狂浪。经过激烈讨论，终于有学生理解了数学“赋形以数”的约定性、标准的相对意义和价值等，从而实现“赋形以数”的再次飞跃。

然后，俞老师又把上面五个角标上刻度合在一起，建构成一个类似量角器的图形，在它的旁边出示一个未知的“⑥号角”。学生迅速发现，只要把这个角放进上面的背景图形中，大体能估量出它的范围;只不过放入的时候要顶点对着中心点，一边对着0度刻度线等。

最后，俞老师让学生取出单圈、双圈量角器量角，学生均能无师自通，想到此时要反过来，只要用可移动的标准——量角器去比未知的角就可以了。

俞老师的成功之处在于完全跳过了量角器的认识，直通测量的本质——测度原理，显然，这样的教法有利于避免物理性测量可能产生的感性迷惑，直接抵达对数学的哲学把握。

在研究此案例的过程中，笔者还发现，上海的潘小明老师还曾让学生去量钟面上的时针和分针形成的角，除了“量”，不少学生还想到了“算”，感受算法的精確性。对此，笔者还曾组织学生开展过进一步的讨论：如果“量”与“算”的结果不一致，你更愿意相信哪一个结果？有些学生还能初步感悟到数学结论的可靠性与其他自然科学在本质上的不同。

诸多成功案例启示我们，对于“角的度量”这种复杂的数学技能学习来说，如果能适时适度揭示其背后蕴藏的测量结构、测度原理、数学本质，就能有效地促进小学生对该技能的理解，从而有效地推动该技能的习得与掌握。由此观之，其他技能学习实际上也离不开理解的参与。只有基于理解的技能学习才能让小学生走进“自能”“自得”的学习境界。当然，这样的理解到底应该定位于怎样的深度和层次，教师可以依据学生的数学基础和理解力做出合理的选择。那种仅仅局限于规则记忆、反复操练的技能学习，不利于技能的习得，更不利于思维的激发与培养。