非线性感应加热模型的有限元方法

支越

(中国传媒大学 数据科学与智能媒体学院，北京 100024)

1 引言

感应加热是一种加热导体材料(如金属材料)的方法。在工业中，感应加热广泛用于金属硬化，锻造预热。感应加热系统的基本组件包括感应线圈，交流电源和工件。将线圈与电源连接，电源为线圈提供交变电流，交变电流产生通过工件的交变磁场，利用交变磁场产生涡流，从而达到加热的效果。

感应加热的过程非常复杂，因此，对于感应加热模型的数学分析可以在设计过程中提供有效帮助。感应加热模型由电磁场方程和热传导方程组成。关于线性电磁材料的研究，文献[1]给出了各种数值计算方案，文献[2，3]讨论了磁热耦合问题的适定性，给出了理论结果。

文献[4]中要求矢量势A满足无散性，然而文中假设电导率是与温度有关的函数，这与-∂tA无散的性质矛盾。在本文中，通过引入引入矢量势A，满足E=-∂tA，不考虑矢量势A无散度的条件，这样可以避免文献[4]理论中出现的矛盾；热传导方程中选用与文献[4]相同的Neumann边界条件。本文将给出非线性感应加热模型的势场公式。

2 模型简介

在涡流区域，麦克斯韦方程组[5]如下：

其中，E是电场，H是磁场，J是总电流密度，B是磁感应强度。

假设H与B之间的非线性关系[4]为

假设电导率σ=σ(u)依赖于温度函数u，σ是严格正的且有界，即存在常数σmin，σmax，使得0<σmin≤σ≤σmax<∞。

在麦克斯韦方程组中，由B的无散性，可以定义一个矢量势A，令B=∇×A，使得∇×(E+∂tA)=0，E=-∂tA。

工件上的感应电流密度为σπE，令Js为线圈中给定的源电流密度，其是Lipschitz连续的。考虑下述电磁场的初始边值问题：

σπ∂tA+∇×νM(∇×A)=Js，(x，t)∈Ω×(0，T]

A(0)=A0，x∈Ω，t=0

n×A=0，(x，t)∈∂Ω×(0，T]

其中A0∈H0(curl，Ω)，Js∈L2(T)，n是∂Ω上的单位外法线向量。矢量势M满足下列条件

M(0)=0，(M(x)-M(y))·(x-y)≥cM|x-y|2，cM>0，∀x，y∈3

|M(x)-M(y)|≤CM|x-y|，CM>0，∀x，y∈3

工件上的局部焦耳热为J·E=σπ|E|2=σπ|∂tA|2。焦耳热项在模型的分析中会产生许多问题，对其引入截断函数[4]

其中r是正的常数。温度函数的变化由下述非线性热传导方程表示：

∂tβ(u)-∇·(λ∇u)=Rr(σπ(u)|∂tA|2)，(x，t)∈π×(0，T]

u(0)=u0，x∈π，t=0

其中，非线性函数β是连续的，导热系数λ是严格正的，有界的，满足

β(0)=0，|β(x)|≤Cβ(1+|x|)，0<β≤β'(x)，Cβ>0，∀x∈，

0<λmin≤λ≤λmax<∞，|λ(x，t2)-λ(x，t1)|≤Cλ|t2-t1|，Cλ>0，∀x∈π，∀t1，t2∈[0，T]。

3 变分形式

首先给出下文中要用的基本空间及基本定义。

Hm(Ω)空间的范数：

其中m是非负整数，ξ表示非负三重指数。使用黑体表示向量值空间，如L2(Ω)∶=(L2(Ω))3。

变分空间及范数的定义如下：H(curl，Ω)={Q∈L2(Ω)：∇×Q∈L2(Ω)}，

应用上述定义，电磁场方程和热传导方程的变分形式为：

(σπ∂tA，Q)π+(νM(∇×A)，∇×Q)π=(JS，Q)Τ，∀Q∈H0(curl，Ω)，

(σπβ(u)，ψ)π+(λ∇u，∇ψ)π=(Rr(σπ|∂tA|2)，ψ)π，∀ψ∈H1(π).

4 时间离散化

设n是一个正整数，将区间[0，T]均匀剖分成n份，其中时间步长为τ=T/n，令

时间半离散格式为：

(σπ(ui-1)δAi，Q)π+(νM(∇×Ai)，∇×Q)Ω=(JS，i，Q)Τ，∀Q∈H0(curl，Ω)，

(δβ(ui)，ψ)π+(λi∇ui，∇ψ)π-(Rr(σπ(ui-1)|∂tAi|2)，ψ)π=0，∀ψ∈H1(π)，

在上式中，σπ(u)取上一个时间步ui-1的值，这样处理可以求解Ai和ui，并不影响收敛结果。

使用单调算子引理[7]，能够证明时间半离散格式解的存在唯一性。关于Ai和ui的稳定性估计，证明过程较为简单，证明思路类似文献[4]。

5 半离散格式收敛性

时间半离散格式的等价形式如下：

6 结论

本文讨论了一个感应加热模型，并提出其势场公式。在电磁场方程中，将电场化为矢量势形式。使用向后欧拉法，得出时间半离散格式。关于时间半离散格式的收敛性，其证明过程较复杂，证明思路类似于文献[4]。