土星环形成机理探究

张重阳

（上海市张堰中学，上海 201514）

1.绪论

1.1 研究背景及意义

太阳系中有八大行星，按距离太阳由近到远的顺序分别是：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星，但其中只有土星和天王星具有围绕其自身中心天体旋转的环状结构。随着对土星环几百年来的不断观测研究，人类已经对土星环有了较为全面的认识：土星环宽度从30km ～30 万km 不等，距离土星从近到远按被发现的顺序分别命名为D、C、B、A、F、G 和E 环。其中，B 环最宽、最亮，总质量也最大。A、B、C 三个较为明亮密集的环被称为主环。其他环相比之下则暗淡并且分散得多，基本都是被飞掠土星的人造探测器所发现。对比太阳系内的其他行星，仅土星与天王星具有类似的环状结构，故而推测土星环的形成并非偶然，其背后必定蕴含着丰富的物理学原理。本文将通过物理建模，对土星环的形成机理进行了初步探究，通过理论计算验证了土星具备形成环状结构的必要条件，从而为土星环的形成提供了科学支撑。

1.2 国内外研究现状

对天体力学理论及其观测研究已有很多相关研究工作，周济林、孙义燧通过计算行星引力势[1]，并考虑土星环内部小天体之间的碰撞对土星环动力学进行了研究，并归纳了行星环的分析方法。陈健,夏芳等对双星观测计算方法进行了改进[2]，以牛顿二体模型作为理论基础，通过立体几何改进了双星的观测方法，从而解决了传统方法对透镜效应的忽略，文章将理论结果与实际观测数据进行了拟合对比，结果表明所提出的方法极大地改良了原有模型，具有一定的使用价值。刘林，汤靖师等对地球与月球系统平动点轨道的特征问题进行了研究[3]，对轨道由于不稳定特性引起的误差传播问题进行了详细的理论研究，并给出了高精度轨道预报方法，并利用实际测量资料对定轨结果进行了检验。夏睿奇对地球特洛伊天体稳定性进行了研究[4]，指出共振对地球特洛伊天体的稳定区域的分布情况存在重要作用。何加川对天体力学的发展历史以及近代以来的关键性成果进行了综述[5]，并将天体力学的研究范畴划分为：自转理论、天体形状、多体问题、天文动力学、数值方法以及摄动理论6 个方向，在对天体力学的成果进行归纳总结的基础上提出了相应的展望，为未来研究指明方向。

本文对土星环的形成机理进行了研究，经过简单的建模并通过引力计算，得出了两个重要的崩解临界，并进一步指出土星环可能由大质量的天体落入崩解半径后分解成小碎块儿，从而绕土星旋转形成土星环。

2.土星环运动方程

2.1 土星与土星环的基本概况

土星主要是由氢气构成的气态行星，其赤道半径达到6 万多km，在太阳系行星中并非质量最大的一颗，其质量仅在太阳系行星中位列第二。但除了常见的卫星以外，土星还具有奇特的环状结构称为土星环。据天文观测数据，土星环主要由水、冰、石块儿等小颗粒组成。有研究表明与形成于45 亿年前的土星相比，土星环的形成历史相对短暂，它形成于约1000 万年～1 亿年前。在天文望远镜下，土星环分布在土星周围具有非常明亮的光泽，环中有不计其数的小颗粒，其大小横跨微米级到米级，在土星引力的作用下围绕土星运转。

2.2 土星与土星环的相互作用力

土星环作为有质量的物体，在土星周围将受到土星的引力作用，其大小与土星和土星环质量的乘积成正比，而与它们之间距离的平方成反比。

其中，G 为万有引力常数，由卡文迪许使用扭秤装置测出，其值约为6.67×10-11N·m²/kg²。M 和m 分别表示土星与土星环的质量，r 表示土星与组成土星环的天体间的距离，则F 即为土星与土星环之间相互作用的引力。

考虑到土星环与太阳和其他天体的距离很远，而引力与距离呈平方反比衰减，故而在研究过程中可忽略其他天体对土星环引力作用，而仅考虑土星与土星环之间的相互作用力。

2.3 土星环运动的轨道参数

土星环以土星为中心天体，在土星引力的作用下围绕土星运动。由开普勒行星运动定律可知，土星环绕土星运动的轨迹为椭圆，且土星位于椭圆的焦点。但考虑到土星环绕土星运动的偏心率很小，可将土星环轨道简化为正圆轨道。根据圆周运动的基本规律，由万有引力提供向心力得：

其中：M 和m 分别表示土星与土星环的质量；r 表示土星环与土星之间的距离，ω 为土星环绕土星运动的角速度，v 为土星环绕土星运动的线速度，T 为土星环的运动周期。

由式(2)可得：

可见土星环的运动情况与其距土星的距离相关，离土星距离越近的环其运动的线速度、角速度越大，周期越短。

由式(3)可知，土星环内侧与外侧运动角速度之差：

其中：M 表示土星的质量；r1与r2分别表示土星环内侧与外侧与土星之间的距离，Δω 为土星环内侧与外侧的角速度差，d 为土星环宽度。

可见，土星环宽度越大，土星环内侧与外侧的角速度差越大。若土星环为一个整体圆盘，则其内外侧角速度应当相同，但根据实际观测可知，土星环内侧与外侧绕土星运动的角速度具有明显差异，从而说明土星环并非是一个整体圆盘模型，而是由众多小质点构成的相互离散的系统。

3.土星环形成机理建模

3.1 土星环起源假说

在太阳8 大行星中，仅土星和天王星存在环状结构，可见类似的环状结构在太阳系天体中不是普遍现象，其形成应当具备一定的条件。土星在太阳系中质量与体积均位列木星之后，但木星以及其他行星却未形成环状结构，故而猜测土星的环状结构来源有：

（1）土星众多的卫星中，曾经有一颗含水量丰富的小卫星。它在运行过程中受到内侧的土星和外侧其它卫星的多方向引力作用，最终崩解碎裂。

（2）土星系统中卫星众多，引力环境复杂，这使土星的卫星们始终处于不规则的引力拉扯中。它们的内部不断因形变摩擦而升温，最终形成剧烈的间歇泉喷发（喷发物以水为主）形成了土星环。

3.2 土星环形成的机理建模

为简化问题分析，本文对土星环形成的崩解假说建立了两类理论模型，所建立的模型从外来天体的构成区分，分别为由引力结合的双体模型以及由质点群结合的单体模型。并研究了在土星引力的作用下，外来天体模型受到土星引力而崩解的情况，进而推导出各自的崩解临界。

3.2.1 由引力结合的双体模型

由引力结合的双体模型考虑外来天体是由两个质量均为m 半径为r 的规则球体组成，其自身仅依靠彼此的引力相互结合。如图1 所示。

图1 由引力结合的双体模型示意图

由图1 可知，对于由引力结合的双体模型中的任一天体A、B 而言，其均受到两个引力的作用，即土星的引力以及自身另一天体的结合引力。其中，土星引力的作用是将双体模型分离，而A 与B 自身的引力将其牢牢结合。随着双体模型逐渐靠近土星，土星对双体模型中天体A 的引力逐渐增强，而A 与B 的结合引力由于它们的距离不变，该结合引力为常数：

其中，FAB即为A 与B 的结合引力，G 为万有引力常数，m，r 分别为双体模型内部两个天体的质量与半径。

随着双体模型逐渐靠近土星，土星对双体模型的引力逐渐增大，式(6)当土星对双体模型中天体A 的引力大于A 与B 的结合引力时，双体模型将会发生崩解，从而使得双体模型的每一部分成为绕土星运动的土星环。

其中，F土表示土星对天体A 的引力，G 为万有引力常数，M 和m 分别表示土星的质量与双体模型中天体A的质量，R 与r 分别为土星到天体A、B 切点之间的距离以及天体A 的半径。当F土大于FAB时，双体模型中天体A、B 发生崩解，联立式(5)与式(6)可知：

求解上式可得：

其中：M 和m 分别表示土星的质量与双体模型中天体A 的质量，R 与r 分别为土星到天体A、B 切点之间的距离以及天体A 的半径。

当双体模型离土星足够近时，由于土星对天体A 的引力大于双体模型AB 之间的结合引力，故而导致天体A 受到土星引力而与天体B 分离，即双体模型崩解形成土星环的一部分。

由式(8)可以看出，双体模型崩解极限半径R 与双体模型内天体A、B 的半径成正比，体积越大的天体越容易受天体引力作用而发生崩解。同样的，双体模型崩解极限半径R 与双体模型内天体A、B 的质量成负相关，双体模型内天体的质量越大，其结合引力越强，越不容易受到行星引力作用发生崩解。另外，崩解极限半径还与行星质量相关，行星质量越大，其对双体模型内天体的“撕扯”作用越强，越容易使双体模型发生崩解。

若双体模型内天体密度均匀，考虑到双体模型内天体A、B 半径远小于行星半径，则式(8)可进一步近似为：

可见，双体模型的崩解半径与其平均密度及尺寸呈负相关，而与行星质量呈正相关。质量越大的行星越具备形成行星环的可能。

3.2.2 由质点群结合的单体模型

双体模型较为简单，便于进行理论分析，但双体模型与实际天体的崩解方式可能存在差异。为此，本文建立了由质点群结合的单体模型，用来模拟外来天体受行星引力发生崩解的物理过程，如图2 所示。

图2 由质点群结合的单体模型示意图

在质点群模型中，各质点分别受到来自土星的引力以及自身其他质点产生的结合引力。当质点群离行星较远时，其自身结合引力大于行星引力，从而使质点群保持稳定结合。然而，随着质点群模型逐渐靠近土星，土星对模型内各质点的引力逐渐增大，当土星对质点群内质点的引力大于其自身的结合引力时，质点群模型将会发生崩解，成为绕土星运动的土星环。

在质点群模型内部众多质点中，P 点离行星最近受行星引力影响最大，因而也发生崩解，计算P 点的加速度：

其中，ap为P 点加速度，G 为万有引力常数，m，r分别为质点群构成的球体总质量与半径，R 为土星到质点群质心的距离。

可见，质点P 的加速度决定于质点群质心到行星的距离。在行星引力的作用下，质点群质心的加速度为：

随着质点群模型逐渐靠近土星，ap逐渐增大，当ap＞ao时，质点P 脱离质点群模型内其他质点的引力束缚发生崩解，即：

化解可得：

考虑到R 远大于r，上式可进一步写成：

可见，对于质点群模型而言，其崩解极限半径与质点群所组成的球体尺寸成正比，而与质点群总质量成反比，这是因为质点群尺寸越大结合就越松散，土星引力更容易将其“撕碎”。式(14)所得崩解半径与行星质量呈正相关，这与双体模型得出的结论是一致的，即质量越大的行星越容易形成行星环。

3.3 模型的局限性

本文3.2 节通过引力理论对土星环的成因进行了分析，建立了由引力结合的双体模型以及由质点群结合的单体模型两个简易机理模型，并推导了相应模型的崩解极限。本文假设条件较为理想，模型在几何形状上为规则的球体，且模型内在的结合力为天体自身的引力。实际上的外来天体形状多样，诸如哑铃型、椭球形等，其内在的结合力也不单纯为引力，还存在物质之间的化学键作用，从而使其结合力更强，实际的崩解半径比本文理论模型计算所得更小。

4.结论

土星作为太阳系最独特的行星之一，其周围具有一圈绕行星本体运动的行星环。本文利用万有引力理论对土星环的形成机理进行了初步探究，通过研究土星环围绕土星的运动情况，提出土星环可能由大质量外来天体在土星引力作用下崩解而形成，进而建立了相应的崩解模型，推导了两个理论崩解极限半径。理论计算结果表明，平均密度越小、体积越大的外来天体更易发生崩解，而中心天体质量越大则其形成行星环的概率也就越大，通过建立简易物理模型对土星环形成的机理从理论上作出了科学解释。