正是辨析好时机——集合符号在“点、线、面的位置关系”应用中的易错辨析

江西省九江市第七中学 (332000) 张明星

高中数学教材几经改版，但《集合》章节始终统领全篇，《集合》中的“交、并、补”思想，以及集合符号的表示，在随后各章节中都有所体现.尤其在学习《立体几何》时，由于需要频繁使用集合符号来表述“点、线、面之间的位置关系”，学生在概念不清时，极易混淆出错.

1.线与线位置关系中，误将“m∩n=Ø”等同于“m∥n”

空间中两直线m、n，在已知“m∩n=Ø”时，初学者易等同于“m∥n”.辨析时，可引导学生“判断平面内两条直线的位置关系时，若它们无公共点，则它们是何种位置关系？”——“两直线平行”；“那在空间中呢？”对于初学者来说，“异面”这个概念，本身就是一个难点，从平面到空间,有一个知识跨度的问题；理解这类难点概念的法宝之一是“对比学习法”——“空间中直线m与平面α，若m∩α=Ø，则m∥α”；“空间中平面α与平面β，若α∩β=Ø，则α∥β”；“空间中两直线m、n，若已知m∩n=Ø，两者的位置关系有‘平行或异面’两种可能”，而不仅仅是“m∥n”.前面所述“易错辨析”，提醒的是“空间中，两直线位置关系中，别遗漏‘异面’这一类情况”，但还得提防另一类极端——“异面”这一概念，仅存于“空间两条直线位置关系的表述中”，“异面直线是指不在同一平面上的两条直线”；而“直线与平面”、“平面与平面”，均不存在“异面”这一说法，我们在教学时，务必引导学生辨析清楚，以免学生不分场合，滥用“异面”这一概念导致出错.

2.线与面位置关系中，误将“lα”等同于“l∥α”

空间中，在已知“直线lα”时，学生易片面地理解成“l∥α”.辨析时，可引导学生“空间中，直线l在平面α外，是否仅仅意味着直线l与平面α无公共点？”——“已知lα，按照两者的公共点个数进行分类：若两者无公共点，即l∩α=Ø，则l∥α，这是直线l在平面α外的其中一类情况；若两者有且仅有一个公共点，即l∩α=P，则l与α相交，这是‘直线l在平面α外’的另一类情况.即lα应包括以上两类情况，不能以偏概全”.学生初学时，之所以易出现上述“遗漏”，是因为他们会把“直线l与平面α相交于一点，当作‘直线在平面内’”；需引导他们：真正的“直线在平面内”，指的是“这条直线上所有的点都在这个平面内”.

3.线与面位置关系中，误将“∈”当“”

接着上面说，如果“直线l在平面α内”，如何用数学语言来表述？实际在教学中可以发现，学生易误写成“l∈α”.辨析时，可引导学生“构成直线l的基本元素是什么？”——“是点”，直线可看作点的集合；“构成平面α的基本元素是什么？”——“也是点”，平面也可看作点的集合.“直线l在平面α内”，即“前面直线集合中的元素都是后面平面集合中的元素，但后面平面集合中的元素未必都是前面直线集合中的元素”；用集合概念来表述两者的关系，应理解为“直线集合是平面集合的真子集”；以集合符号来表示，应写作“lα”.集合符号“∈”表示的是“元素和集合之间的关系”，如果“点A在直线l上”、“点A在平面α内”，才应写成“A∈l”、“A∈α”.

课堂教学中，数学知识之间的“前后呼应”、“温故而知新”，本身就是很好的教学方法；而以《立体几何》中“点、线、面的位置关系”为载体，辨析集合符号的规范使用，能促进学生对《集合》章节知识的回顾、理解，有助于学生把握相近集合符号之间的差别.我们在这一阶段的教学中，可不要轻易放过这个培养学生数学严谨思维的好时机.